Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120135 / 119901
S 81.555863°
E149.960632°
← 44.85 m → S 81.555863°
E149.963379°

44.85 m

44.85 m
S 81.556267°
E149.960632°
← 44.85 m →
2 012 m²
S 81.556267°
E149.963379°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119901 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916561126708984 y=0.914775848388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916561126708984 × 217)
    floor (0.916561126708984 × 131072)
    floor (120135.5)
    tx = 120135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914775848388672 × 217)
    floor (0.914775848388672 × 131072)
    floor (119901.5)
    ty = 119901
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120135 / 119901 ti = "17/120135/119901"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120135/119901.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120135 ÷ 217
    120135 ÷ 131072
    x = 0.916557312011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119901 ÷ 217
    119901 ÷ 131072
    y = 0.914772033691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.916557312011719 × 2 - 1) × π
    0.833114624023438 × 3.1415926535
    Λ = 2.61730678
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.914772033691406 × 2 - 1) × π
    -0.829544067382812 × 3.1415926535
    Φ = -2.60608954784435
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61730678} λ = 2.61730678}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60608954784435))-π/2
    2×atan(0.0738226600435476)-π/2
    2×0.0736889909742333-π/2
    0.147377981948467-1.57079632675
    φ = -1.42341834
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61730678} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.960632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42341834 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.555863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120135 KachelY 119901 2.61730678 -1.42341834 149.960632 -81.555863
    Oben rechts KachelX + 1 120136 KachelY 119901 2.61735472 -1.42341834 149.963379 -81.555863
    Unten links KachelX 120135 KachelY + 1 119902 2.61730678 -1.42342538 149.960632 -81.556267
    Unten rechts KachelX + 1 120136 KachelY + 1 119902 2.61735472 -1.42342538 149.963379 -81.556267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.42341834--1.42342538) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000
    dl = 44.851840000441m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.42341834--1.42342538) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000
    dr = 44.851840000441m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(2.61730678-2.61735472) × cos(-1.42341834) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146845050931267 × 6371000
    do = 44.8502583459904m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(2.61730678-2.61735472) × cos(-1.42342538) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146838087244696 × 6371000
    du = 44.8481314568664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.42341834)-sin(-1.42342538))×
    abs(λ12)×abs(0.146845050931267-0.146838087244696)×
    abs(2.61735472-2.61730678)×6.96368657079893e-06×
    4.79399999999686e-05×6.96368657079893e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.96368657079893e-06×40589641000000
    ar = 2011.56891396736m²