Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120132 / 119564
↖ ↑ ↗
← S 81.418853°
E149.952392°		 ← 45.57 m → S 81.418853°
E149.955139°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.419262°
E149.952392°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 S 81.419262°
E149.955139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916538238525391 y=0.912204742431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916538238525391 × 217)
    floor (0.916538238525391 × 131072)
    floor (120132.5)     		tx = 120132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912204742431641 × 217)
    floor (0.912204742431641 × 131072)
    floor (119564.5)     		ty = 119564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120132 / 119564 ti = "17/120132/119564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120132/119564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120132 ÷ 217
    120132 ÷ 131072     		x = 0.916534423828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119564 ÷ 217
    119564 ÷ 131072     		y = 0.912200927734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916534423828125 × 2 - 1) × π
    0.83306884765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61716297
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912200927734375 × 2 - 1) × π
    -0.82440185546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.58993481267239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61716297} λ = 2.61716297}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58993481267239))-π/2
    2×atan(0.0750249306006551)-π/2
    2×0.0748846388151007-π/2
    0.149769277630201-1.57079632675     		φ = -1.42102705
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61716297} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.952392°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42102705 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120132 KachelY 119564 2.61716297 -1.42102705 149.952392 -81.418853
    Oben rechts KachelX + 1 120133 KachelY 119564 2.61721091 -1.42102705 149.955139 -81.418853
    Unten links KachelX 120132 KachelY + 1 119565 2.61716297 -1.42103420 149.952392 -81.419262
    Unten rechts KachelX + 1 120133 KachelY + 1 119565 2.61721091 -1.42103420 149.955139 -81.419262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42102705--1.42103420) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42102705--1.42103420) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61716297-2.61721091) × cos(-1.42102705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149209996065874 × 6371000     		do = 45.5725734637866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61716297-2.61721091) × cos(-1.42103420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149202926102517 × 6371000     		du = 45.5704141149966m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42102705)-sin(-1.42103420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149209996065874-0.149202926102517)×R²
    abs(2.61721091-2.61716297)×7.06996335680943e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06996335680943e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06996335680943e-06×40589641000000     		ar = 2075.90230649561m²