Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120130 / 119904
↖ ↑ ↗
← S 81.557073°
E149.946900°		 ← 44.83 m → S 81.557073°
E149.949646°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.557477°
E149.946900°		 ← 44.83 m →
2 011 m²		 S 81.557477°
E149.949646°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119904 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916522979736328 y=0.914798736572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916522979736328 × 217)
    floor (0.916522979736328 × 131072)
    floor (120130.5)     		tx = 120130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914798736572266 × 217)
    floor (0.914798736572266 × 131072)
    floor (119904.5)     		ty = 119904
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120130 / 119904 ti = "17/120130/119904"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120130/119904.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120130 ÷ 217
    120130 ÷ 131072     		x = 0.916519165039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119904 ÷ 217
    119904 ÷ 131072     		y = 0.914794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916519165039062 × 2 - 1) × π
    0.833038330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61706710
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914794921875 × 2 - 1) × π
    -0.82958984375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60623335854321
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61706710} λ = 2.61706710}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60623335854321))-π/2
    2×atan(0.0738120443185607)-π/2
    2×0.0736784327808579-π/2
    0.147356865561716-1.57079632675     		φ = -1.42343946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61706710} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.946900°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42343946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.557073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120130 KachelY 119904 2.61706710 -1.42343946 149.946900 -81.557073
    Oben rechts KachelX + 1 120131 KachelY 119904 2.61711503 -1.42343946 149.949646 -81.557073
    Unten links KachelX 120130 KachelY + 1 119905 2.61706710 -1.42344650 149.946900 -81.557477
    Unten rechts KachelX + 1 120131 KachelY + 1 119905 2.61711503 -1.42344650 149.949646 -81.557477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42343946--1.42344650) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dl = 44.851840000441m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42343946--1.42344650) × R
    7.04000000006921e-06 × 6371000     		dr = 44.851840000441m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61706710-2.61711503) × cos(-1.42343946) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146824159849722 × 6371000     		do = 44.8345235047831m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61706710-2.61711503) × cos(-1.42344650) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.14681719614132 × 6371000     		du = 44.832397052649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42343946)-sin(-1.42344650))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146824159849722-0.14681719614132)×R²
    abs(2.61711503-2.61706710)×6.96370840236327e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.96370840236327e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.96370840236327e-06×40589641000000     		ar = 2010.86318706525m²