Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120129 / 119921
↖ ↑ ↗
← S 81.563926°
E149.944153°		 ← 44.81 m → S 81.563926°
E149.946900°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.564329°
E149.944153°		 ← 44.81 m →
2 010 m²		 S 81.564329°
E149.946900°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119921 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916515350341797 y=0.914928436279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916515350341797 × 217)
    floor (0.916515350341797 × 131072)
    floor (120129.5)     		tx = 120129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914928436279297 × 217)
    floor (0.914928436279297 × 131072)
    floor (119921.5)     		ty = 119921
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120129 / 119921 ti = "17/120129/119921"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120129/119921.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120129 ÷ 217
    120129 ÷ 131072     		x = 0.916511535644531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119921 ÷ 217
    119921 ÷ 131072     		y = 0.914924621582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916511535644531 × 2 - 1) × π
    0.833023071289062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61701916
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914924621582031 × 2 - 1) × π
    -0.829849243164062 × 3.1415926535     		Φ = -2.60704828583675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61701916} λ = 2.61701916}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60704828583675))-π/2
    2×atan(0.0737519173719259)-π/2
    2×0.0736186313799527-π/2
    0.147237262759905-1.57079632675     		φ = -1.42355906
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61701916} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.944153°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42355906 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120129 KachelY 119921 2.61701916 -1.42355906 149.944153 -81.563926
    Oben rechts KachelX + 1 120130 KachelY 119921 2.61706710 -1.42355906 149.946900 -81.563926
    Unten links KachelX 120129 KachelY + 1 119922 2.61701916 -1.42356610 149.944153 -81.564329
    Unten rechts KachelX + 1 120130 KachelY + 1 119922 2.61706710 -1.42356610 149.946900 -81.564329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42355906--1.42356610) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dl = 44.8518399990263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42355906--1.42356610) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dr = 44.8518399990263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61701916-2.61706710) × cos(-1.42355906) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146705854951928 × 6371000     		do = 44.8077443109958m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61701916-2.61706710) × cos(-1.42356610) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146698891119955 × 6371000     		du = 44.8056173774622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42355906)-sin(-1.42356610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146705854951928-0.146698891119955)×R²
    abs(2.61706710-2.61701916)×6.96383197301698e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.96383197301698e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.96383197301698e-06×40589641000000     		ar = 2009.66208021052m²