Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120128 / 119919
↖ ↑ ↗
← S 81.563120°
E149.941406°		 ← 44.81 m → S 81.563120°
E149.944153°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.563523°
E149.941406°		 ← 44.81 m →
2 007 m²		 S 81.563523°
E149.944153°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119919 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916507720947266 y=0.914913177490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916507720947266 × 217)
    floor (0.916507720947266 × 131072)
    floor (120128.5)     		tx = 120128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914913177490234 × 217)
    floor (0.914913177490234 × 131072)
    floor (119919.5)     		ty = 119919
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120128 / 119919 ti = "17/120128/119919"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120128/119919.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120128 ÷ 217
    120128 ÷ 131072     		x = 0.91650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119919 ÷ 217
    119919 ÷ 131072     		y = 0.914909362792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91650390625 × 2 - 1) × π
    0.8330078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61697122
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914909362792969 × 2 - 1) × π
    -0.829818725585938 × 3.1415926535     		Φ = -2.60695241203751
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61697122} λ = 2.61697122}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60695241203751))-π/2
    2×atan(0.0737589885874124)-π/2
    2×0.0736256643370888-π/2
    0.147251328674178-1.57079632675     		φ = -1.42354500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61697122} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.941406°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42354500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.563120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120128 KachelY 119919 2.61697122 -1.42354500 149.941406 -81.563120
    Oben rechts KachelX + 1 120129 KachelY 119919 2.61701916 -1.42354500 149.944153 -81.563120
    Unten links KachelX 120128 KachelY + 1 119920 2.61697122 -1.42355203 149.941406 -81.563523
    Unten rechts KachelX + 1 120129 KachelY + 1 119920 2.61701916 -1.42355203 149.944153 -81.563523
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42354500--1.42355203) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dl = 44.7881299994135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42354500--1.42355203) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dr = 44.7881299994135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61697122-2.61701916) × cos(-1.42354500) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146719762810499 × 6371000     		do = 44.8119921289917m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61697122-2.61701916) × cos(-1.42355203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146712808884839 × 6371000     		du = 44.809868221101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42354500)-sin(-1.42355203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146719762810499-0.146712808884839)×R²
    abs(2.61701916-2.61697122)×6.95392566010811e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.95392566010811e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.95392566010811e-06×40589641000000     		ar = 2006.99776622301m²