Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120126 / 119360
↖ ↑ ↗
← S 81.334844°
E149.935913°		 ← 46.02 m → S 81.334844°
E149.938660°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
S 81.335258°
E149.935913°		 ← 46.01 m →
2 117 m²		 S 81.335258°
E149.938660°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916492462158203 y=0.910648345947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916492462158203 × 217)
    floor (0.916492462158203 × 131072)
    floor (120126.5)     		tx = 120126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910648345947266 × 217)
    floor (0.910648345947266 × 131072)
    floor (119360.5)     		ty = 119360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120126 / 119360 ti = "17/120126/119360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120126/119360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120126 ÷ 217
    120126 ÷ 131072     		x = 0.916488647460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119360 ÷ 217
    119360 ÷ 131072     		y = 0.91064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916488647460938 × 2 - 1) × π
    0.832977294921875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61687535
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91064453125 × 2 - 1) × π
    -0.8212890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.5801556851499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61687535} λ = 2.61687535}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5801556851499))-π/2
    2×atan(0.0757622080539229)-π/2
    2×0.0756177490975573-π/2
    0.151235498195115-1.57079632675     		φ = -1.41956083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61687535} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.935913°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41956083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.334844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120126 KachelY 119360 2.61687535 -1.41956083 149.935913 -81.334844
    Oben rechts KachelX + 1 120127 KachelY 119360 2.61692329 -1.41956083 149.938660 -81.334844
    Unten links KachelX 120126 KachelY + 1 119361 2.61687535 -1.41956805 149.935913 -81.335258
    Unten rechts KachelX + 1 120127 KachelY + 1 119361 2.61692329 -1.41956805 149.938660 -81.335258
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41956083--1.41956805) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dl = 45.9986200005447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41956083--1.41956805) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dr = 45.9986200005447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61687535-2.61692329) × cos(-1.41956083) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150659641605406 × 6371000     		do = 46.0153325254357m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61687535-2.61692329) × cos(-1.41956805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150652504012776 × 6371000     		du = 46.0131525209248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41956083)-sin(-1.41956805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150659641605406-0.150652504012776)×R²
    abs(2.61692329-2.61687535)×7.13759263024083e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.13759263024083e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.13759263024083e-06×40589641000000     		ar = 2116.59165624355m²