Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120125 / 119363
↖ ↑ ↗
← S 81.336085°
E149.933166°		 ← 46.01 m → S 81.336085°
E149.935913°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
S 81.336499°
E149.933166°		 ← 46.01 m →
2 116 m²		 S 81.336499°
E149.935913°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119363 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916484832763672 y=0.910671234130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916484832763672 × 217)
    floor (0.916484832763672 × 131072)
    floor (120125.5)     		tx = 120125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910671234130859 × 217)
    floor (0.910671234130859 × 131072)
    floor (119363.5)     		ty = 119363
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120125 / 119363 ti = "17/120125/119363"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120125/119363.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120125 ÷ 217
    120125 ÷ 131072     		x = 0.916481018066406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119363 ÷ 217
    119363 ÷ 131072     		y = 0.910667419433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916481018066406 × 2 - 1) × π
    0.832962036132812 × 3.1415926535     		Λ = 2.61682741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910667419433594 × 2 - 1) × π
    -0.821334838867188 × 3.1415926535     		Φ = -2.58029949584876
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61682741} λ = 2.61682741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58029949584876))-π/2
    2×atan(0.0757513134212366)-π/2
    2×0.0756069166333236-π/2
    0.151213833266647-1.57079632675     		φ = -1.41958249
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61682741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.933166°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41958249 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.336085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120125 KachelY 119363 2.61682741 -1.41958249 149.933166 -81.336085
    Oben rechts KachelX + 1 120126 KachelY 119363 2.61687535 -1.41958249 149.935913 -81.336085
    Unten links KachelX 120125 KachelY + 1 119364 2.61682741 -1.41958971 149.933166 -81.336499
    Unten rechts KachelX + 1 120126 KachelY + 1 119364 2.61687535 -1.41958971 149.935913 -81.336499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41958249--1.41958971) × R
    7.21999999986345e-06 × 6371000     		dl = 45.99861999913m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41958249--1.41958971) × R
    7.21999999986345e-06 × 6371000     		dr = 45.99861999913m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61682741-2.61687535) × cos(-1.41958249) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150638228803956 × 6371000     		do = 46.0087925047073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61682741-2.61687535) × cos(-1.41958971) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150631091187767 × 6371000     		du = 46.0066124930011m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41958249)-sin(-1.41958971))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150638228803956-0.150631091187767)×R²
    abs(2.61687535-2.61682741)×7.13761618875708e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.13761618875708e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.13761618875708e-06×40589641000000     		ar = 2116.29082428202m²