Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120123 / 119365
↖ ↑ ↗
← S 81.336913°
E149.927673°		 ← 46 m → S 81.336913°
E149.930420°		 →
↑
46 m
↓
↑
46 m
↓
S 81.337327°
E149.927673°		 ← 46 m →
2 116 m²		 S 81.337327°
E149.930420°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916469573974609 y=0.910686492919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916469573974609 × 217)
    floor (0.916469573974609 × 131072)
    floor (120123.5)     		tx = 120123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910686492919922 × 217)
    floor (0.910686492919922 × 131072)
    floor (119365.5)     		ty = 119365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120123 / 119365 ti = "17/120123/119365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120123/119365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120123 ÷ 217
    120123 ÷ 131072     		x = 0.916465759277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119365 ÷ 217
    119365 ÷ 131072     		y = 0.910682678222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916465759277344 × 2 - 1) × π
    0.832931518554688 × 3.1415926535     		Λ = 2.61673154
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910682678222656 × 2 - 1) × π
    -0.821365356445312 × 3.1415926535     		Φ = -2.580395369648
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61673154} λ = 2.61673154}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.580395369648))-π/2
    2×atan(0.0757440512031553)-π/2
    2×0.0755996958460357-π/2
    0.151199391692071-1.57079632675     		φ = -1.41959694
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61673154} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.927673°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41959694 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.336913°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120123 KachelY 119365 2.61673154 -1.41959694 149.927673 -81.336913
    Oben rechts KachelX + 1 120124 KachelY 119365 2.61677948 -1.41959694 149.930420 -81.336913
    Unten links KachelX 120123 KachelY + 1 119366 2.61673154 -1.41960416 149.927673 -81.337327
    Unten rechts KachelX + 1 120124 KachelY + 1 119366 2.61677948 -1.41960416 149.930420 -81.337327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41959694--1.41960416) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dl = 45.9986200005447m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41959694--1.41960416) × R
    7.22000000008549e-06 × 6371000     		dr = 45.9986200005447m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61673154-2.61677948) × cos(-1.41959694) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150623943677815 × 6371000     		do = 46.0044294594847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61673154-2.61677948) × cos(-1.41960416) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.150616806045911 × 6371000     		du = 46.0022494429786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41959694)-sin(-1.41960416))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150623943677815-0.150616806045911)×R²
    abs(2.61677948-2.61673154)×7.13763190379746e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.13763190379746e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.13763190379746e-06×40589641000000     		ar = 2116.09013022662m²