Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120122 / 119910
↖ ↑ ↗
← S 81.559492°
E149.924927°		 ← 44.83 m → S 81.559492°
E149.927673°		 →
↑
44.85 m
↓
↑
44.85 m
↓
S 81.559896°
E149.924927°		 ← 44.83 m →
2 011 m²		 S 81.559896°
E149.927673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119910 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916461944580078 y=0.914844512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916461944580078 × 217)
    floor (0.916461944580078 × 131072)
    floor (120122.5)     		tx = 120122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914844512939453 × 217)
    floor (0.914844512939453 × 131072)
    floor (119910.5)     		ty = 119910
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120122 / 119910 ti = "17/120122/119910"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120122/119910.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120122 ÷ 217
    120122 ÷ 131072     		x = 0.916458129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119910 ÷ 217
    119910 ÷ 131072     		y = 0.914840698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916458129882812 × 2 - 1) × π
    0.832916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61668360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914840698242188 × 2 - 1) × π
    -0.829681396484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.60652097994093
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61668360} λ = 2.61668360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60652097994093))-π/2
    2×atan(0.0737908174480026)-π/2
    2×0.0736573208993553-π/2
    0.147314641798711-1.57079632675     		φ = -1.42348168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61668360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.924927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42348168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.559492°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120122 KachelY 119910 2.61668360 -1.42348168 149.924927 -81.559492
    Oben rechts KachelX + 1 120123 KachelY 119910 2.61673154 -1.42348168 149.927673 -81.559492
    Unten links KachelX 120122 KachelY + 1 119911 2.61668360 -1.42348872 149.924927 -81.559896
    Unten rechts KachelX + 1 120123 KachelY + 1 119911 2.61673154 -1.42348872 149.927673 -81.559896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42348168--1.42348872) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dl = 44.8518399990263m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42348168--1.42348872) × R
    7.03999999984717e-06 × 6371000     		dr = 44.8518399990263m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61668360-2.61673154) × cos(-1.42348168) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146782397273544 × 6371000     		do = 44.8311223062167m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61668360-2.61673154) × cos(-1.42348872) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146775433521509 × 6371000     		du = 44.8289953970982m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42348168)-sin(-1.42348872))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146782397273544-0.146775433521509)×R²
    abs(2.61673154-2.61668360)×6.96375203529387e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.96375203529387e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.96375203529387e-06×40589641000000     		ar = 2010.71062677115m²