Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120122 / 119218
↖ ↑ ↗
← S 81.275886°
E149.924927°		 ← 46.33 m → S 81.275886°
E149.927673°		 →
↑
46.32 m
↓
↑
46.32 m
↓
S 81.276303°
E149.924927°		 ← 46.32 m →
2 146 m²		 S 81.276303°
E149.927673°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916461944580078 y=0.909564971923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916461944580078 × 217)
    floor (0.916461944580078 × 131072)
    floor (120122.5)     		tx = 120122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909564971923828 × 217)
    floor (0.909564971923828 × 131072)
    floor (119218.5)     		ty = 119218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120122 / 119218 ti = "17/120122/119218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120122/119218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120122 ÷ 217
    120122 ÷ 131072     		x = 0.916458129882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119218 ÷ 217
    119218 ÷ 131072     		y = 0.909561157226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916458129882812 × 2 - 1) × π
    0.832916259765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61668360
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909561157226562 × 2 - 1) × π
    -0.819122314453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57334864540385
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61668360} λ = 2.61668360}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57334864540385))-π/2
    2×atan(0.0762796836557537)-π/2
    2×0.0761322512852525-π/2
    0.152264502570505-1.57079632675     		φ = -1.41853182
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61668360} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.924927°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41853182 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.275886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120122 KachelY 119218 2.61668360 -1.41853182 149.924927 -81.275886
    Oben rechts KachelX + 1 120123 KachelY 119218 2.61673154 -1.41853182 149.927673 -81.275886
    Unten links KachelX 120122 KachelY + 1 119219 2.61668360 -1.41853909 149.924927 -81.276303
    Unten rechts KachelX + 1 120123 KachelY + 1 119219 2.61673154 -1.41853909 149.927673 -81.276303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41853182--1.41853909) × R
    7.26999999978162e-06 × 6371000     		dl = 46.3171699986087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41853182--1.41853909) × R
    7.26999999978162e-06 × 6371000     		dr = 46.3171699986087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61668360-2.61673154) × cos(-1.41853182) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151676826225983 × 6371000     		do = 46.3260068908919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61668360-2.61673154) × cos(-1.41853909) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151669640334862 × 6371000     		du = 46.3238121347787m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41853182)-sin(-1.41853909))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151676826225983-0.151669640334862)×R²
    abs(2.61673154-2.61668360)×7.18589112111423e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.18589112111423e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.18589112111423e-06×40589641000000     		ar = 2145.63870925072m²