Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12012 / 14068
↖ ↑ ↗
← N 24.647017°
W 48.032227°		 ← 1 110.34 m → N 24.647017°
W 48.021240°		 →
↑
1 110.34 m
↓
↑
1 110.34 m
↓
N 24.637032°
W 48.032227°		 ← 1 110.43 m →
1 232 903 m²		 N 24.637032°
W 48.021240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12012 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366592407226562 y=0.429336547851562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366592407226562 × 215)
    floor (0.366592407226562 × 32768)
    floor (12012.5)     		tx = 12012
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429336547851562 × 215)
    floor (0.429336547851562 × 32768)
    floor (14068.5)     		ty = 14068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12012 / 14068 ti = "15/12012/14068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12012/14068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12012 ÷ 215
    12012 ÷ 32768     		x = 0.3665771484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14068 ÷ 215
    14068 ÷ 32768     		y = 0.4293212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3665771484375 × 2 - 1) × π
    -0.266845703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83832050
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4293212890625 × 2 - 1) × π
    0.141357421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.4440874380802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83832050} λ = -0.83832050}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.4440874380802))-π/2
    2×atan(1.55906680147025)-π/2
    2×1.00048396353341-π/2
    2.00096792706681-1.57079632675     		φ = 0.43017160
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83832050} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.032227°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43017160 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.647017°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12012 KachelY 14068 -0.83832050 0.43017160 -48.032227 24.647017
    Oben rechts KachelX + 1 12013 KachelY 14068 -0.83812875 0.43017160 -48.021240 24.647017
    Unten links KachelX 12012 KachelY + 1 14069 -0.83832050 0.42999732 -48.032227 24.637032
    Unten rechts KachelX + 1 12013 KachelY + 1 14069 -0.83812875 0.42999732 -48.021240 24.637032
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43017160-0.42999732) × R
    0.000174279999999971 × 6371000     		dl = 1110.33787999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43017160-0.42999732) × R
    0.000174279999999971 × 6371000     		dr = 1110.33787999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83832050--0.83812875) × cos(0.43017160) × R
    0.000191750000000046 × 0.908894201262582 × 6371000     		do = 1110.34083036004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83832050--0.83812875) × cos(0.42999732) × R
    0.000191750000000046 × 0.908966866885371 × 6371000     		du = 1110.42960153696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43017160)-sin(0.42999732))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908894201262582-0.908966866885371)×R²
    abs(-0.83812875--0.83832050)×7.26656227891809e-05×R²
    0.000191750000000046×7.26656227891809e-05×6371000²
    0.000191750000000046×7.26656227891809e-05×40589641000000     		ar = 1232902.76977987m²