Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120119 / 119945
↖ ↑ ↗
← S 81.573591°
E149.916687°		 ← 44.76 m → S 81.573591°
E149.919434°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.573994°
E149.916687°		 ← 44.75 m →
2 005 m²		 S 81.573994°
E149.919434°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916439056396484 y=0.915111541748047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916439056396484 × 217)
    floor (0.916439056396484 × 131072)
    floor (120119.5)     		tx = 120119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.915111541748047 × 217)
    floor (0.915111541748047 × 131072)
    floor (119945.5)     		ty = 119945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120119 / 119945 ti = "17/120119/119945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120119/119945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120119 ÷ 217
    120119 ÷ 131072     		x = 0.916435241699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119945 ÷ 217
    119945 ÷ 131072     		y = 0.915107727050781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916435241699219 × 2 - 1) × π
    0.832870483398438 × 3.1415926535     		Λ = 2.61653979
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.915107727050781 × 2 - 1) × π
    -0.830215454101562 × 3.1415926535     		Φ = -2.60819877142764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61653979} λ = 2.61653979}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60819877142764))-π/2
    2×atan(0.0736671156446261)-π/2
    2×0.0735342878986652-π/2
    0.14706857579733-1.57079632675     		φ = -1.42372775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61653979} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.916687°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42372775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.573591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120119 KachelY 119945 2.61653979 -1.42372775 149.916687 -81.573591
    Oben rechts KachelX + 1 120120 KachelY 119945 2.61658773 -1.42372775 149.919434 -81.573591
    Unten links KachelX 120119 KachelY + 1 119946 2.61653979 -1.42373478 149.916687 -81.573994
    Unten rechts KachelX + 1 120120 KachelY + 1 119946 2.61658773 -1.42373478 149.919434 -81.573994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42372775--1.42373478) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dl = 44.7881299994135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42372775--1.42373478) × R
    7.02999999990794e-06 × 6371000     		dr = 44.7881299994135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61653979-2.61658773) × cos(-1.42372775) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146538988063903 × 6371000     		do = 44.7567788682394m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61653979-2.61658773) × cos(-1.42373478) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.146532033949868 × 6371000     		du = 44.7546549028141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42372775)-sin(-1.42373478))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146538988063903-0.146532033949868)×R²
    abs(2.61658773-2.61653979)×6.95411403517365e-06×R²
    4.79399999999686e-05×6.95411403517365e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×6.95411403517365e-06×40589641000000     		ar = 2004.52486608923m²