Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120118 / 119222
↖ ↑ ↗
← S 81.277553°
E149.913941°		 ← 46.31 m → S 81.277553°
E149.916687°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.277969°
E149.913941°		 ← 46.31 m →
2 142 m²		 S 81.277969°
E149.916687°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120118 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119222 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916431427001953 y=0.909595489501953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916431427001953 × 217)
    floor (0.916431427001953 × 131072)
    floor (120118.5)     		tx = 120118
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909595489501953 × 217)
    floor (0.909595489501953 × 131072)
    floor (119222.5)     		ty = 119222
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120118 / 119222 ti = "17/120118/119222"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120118/119222.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120118 ÷ 217
    120118 ÷ 131072     		x = 0.916427612304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119222 ÷ 217
    119222 ÷ 131072     		y = 0.909591674804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916427612304688 × 2 - 1) × π
    0.832855224609375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61649186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909591674804688 × 2 - 1) × π
    -0.819183349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.57354039300233
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61649186} λ = 2.61649186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57354039300233))-π/2
    2×atan(0.0762650586118033)-π/2
    2×0.0761177108300311-π/2
    0.152235421660062-1.57079632675     		φ = -1.41856091
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61649186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.913941°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41856091 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.277553°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120118 KachelY 119222 2.61649186 -1.41856091 149.913941 -81.277553
    Oben rechts KachelX + 1 120119 KachelY 119222 2.61653979 -1.41856091 149.916687 -81.277553
    Unten links KachelX 120118 KachelY + 1 119223 2.61649186 -1.41856817 149.913941 -81.277969
    Unten rechts KachelX + 1 120119 KachelY + 1 119223 2.61653979 -1.41856817 149.916687 -81.277969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41856091--1.41856817) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41856091--1.41856817) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61649186-2.61653979) × cos(-1.41856091) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151648072729057 × 6371000     		do = 46.3075633341607m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61649186-2.61653979) × cos(-1.41856817) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151640896690219 × 6371000     		du = 46.3053720443738m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41856091)-sin(-1.41856817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151648072729057-0.151640896690219)×R²
    abs(2.61653979-2.61649186)×7.17603883809703e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17603883809703e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17603883809703e-06×40589641000000     		ar = 2141.8343508021m²