Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120116 / 119575
↖ ↑ ↗
← S 81.423359°
E149.908447°		 ← 45.55 m → S 81.423359°
E149.911194°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.423769°
E149.908447°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 S 81.423769°
E149.911194°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120116 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119575 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916416168212891 y=0.912288665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916416168212891 × 217)
    floor (0.916416168212891 × 131072)
    floor (120116.5)     		tx = 120116
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912288665771484 × 217)
    floor (0.912288665771484 × 131072)
    floor (119575.5)     		ty = 119575
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120116 / 119575 ti = "17/120116/119575"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120116/119575.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120116 ÷ 217
    120116 ÷ 131072     		x = 0.916412353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119575 ÷ 217
    119575 ÷ 131072     		y = 0.912284851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916412353515625 × 2 - 1) × π
    0.83282470703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61639598
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912284851074219 × 2 - 1) × π
    -0.824569702148438 × 3.1415926535     		Φ = -2.59046211856821
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61639598} λ = 2.61639598}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59046211856821))-π/2
    2×atan(0.0749853799409803)-π/2
    2×0.0748453094137277-π/2
    0.149690618827455-1.57079632675     		φ = -1.42110571
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61639598} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.908447°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42110571 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.423359°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120116 KachelY 119575 2.61639598 -1.42110571 149.908447 -81.423359
    Oben rechts KachelX + 1 120117 KachelY 119575 2.61644392 -1.42110571 149.911194 -81.423359
    Unten links KachelX 120116 KachelY + 1 119576 2.61639598 -1.42111286 149.908447 -81.423769
    Unten rechts KachelX + 1 120117 KachelY + 1 119576 2.61644392 -1.42111286 149.911194 -81.423769
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42110571--1.42111286) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42110571--1.42111286) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61639598-2.61644392) × cos(-1.42110571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149132216161317 × 6371000     		do = 45.5488174788803m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61639598-2.61644392) × cos(-1.42111286) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149125146114065 × 6371000     		du = 45.5466581044667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42110571)-sin(-1.42111286))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149132216161317-0.149125146114065)×R²
    abs(2.61644392-2.61639598)×7.07004725147842e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07004725147842e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07004725147842e-06×40589641000000     		ar = 2074.82015790118m²