Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120115 / 119574
↖ ↑ ↗
← S 81.422950°
E149.905700°		 ← 45.55 m → S 81.422950°
E149.908447°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.423359°
E149.905700°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 S 81.423359°
E149.908447°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916408538818359 y=0.912281036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916408538818359 × 217)
    floor (0.916408538818359 × 131072)
    floor (120115.5)     		tx = 120115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912281036376953 × 217)
    floor (0.912281036376953 × 131072)
    floor (119574.5)     		ty = 119574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120115 / 119574 ti = "17/120115/119574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120115/119574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120115 ÷ 217
    120115 ÷ 131072     		x = 0.916404724121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119574 ÷ 217
    119574 ÷ 131072     		y = 0.912277221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916404724121094 × 2 - 1) × π
    0.832809448242188 × 3.1415926535     		Λ = 2.61634804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912277221679688 × 2 - 1) × π
    -0.824554443359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.59041418166859
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61634804} λ = 2.61634804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59041418166859))-π/2
    2×atan(0.0749889745937691)-π/2
    2×0.0748488839665317-π/2
    0.149697767933063-1.57079632675     		φ = -1.42109856
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61634804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.905700°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42109856 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.422950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120115 KachelY 119574 2.61634804 -1.42109856 149.905700 -81.422950
    Oben rechts KachelX + 1 120116 KachelY 119574 2.61639598 -1.42109856 149.908447 -81.422950
    Unten links KachelX 120115 KachelY + 1 119575 2.61634804 -1.42110571 149.905700 -81.423359
    Unten rechts KachelX + 1 120116 KachelY + 1 119575 2.61639598 -1.42110571 149.908447 -81.423359
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42109856--1.42110571) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42109856--1.42110571) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61634804-2.61639598) × cos(-1.42109856) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149139286200944 × 6371000     		do = 45.5509768509654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61634804-2.61639598) × cos(-1.42110571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149132216161317 × 6371000     		du = 45.5488174788803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42109856)-sin(-1.42110571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149139286200944-0.149132216161317)×R²
    abs(2.61639598-2.61634804)×7.07003962746588e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07003962746588e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07003962746588e-06×40589641000000     		ar = 2074.91852324278m²