Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120114 / 119602
↖ ↑ ↗
← S 81.434412°
E149.902954°		 ← 45.48 m → S 81.434412°
E149.905700°		 →
↑
45.49 m
↓
↑
45.49 m
↓
S 81.434821°
E149.902954°		 ← 45.48 m →
2 069 m²		 S 81.434821°
E149.905700°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916400909423828 y=0.912494659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916400909423828 × 217)
    floor (0.916400909423828 × 131072)
    floor (120114.5)     		tx = 120114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912494659423828 × 217)
    floor (0.912494659423828 × 131072)
    floor (119602.5)     		ty = 119602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120114 / 119602 ti = "17/120114/119602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120114/119602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120114 ÷ 217
    120114 ÷ 131072     		x = 0.916397094726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119602 ÷ 217
    119602 ÷ 131072     		y = 0.912490844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916397094726562 × 2 - 1) × π
    0.832794189453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61630011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912490844726562 × 2 - 1) × π
    -0.824981689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59175641485796
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61630011} λ = 2.61630011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59175641485796))-π/2
    2×atan(0.0748883894227117)-π/2
    2×0.074748860507902-π/2
    0.149497721015804-1.57079632675     		φ = -1.42129861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61630011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.902954°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42129861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.434412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120114 KachelY 119602 2.61630011 -1.42129861 149.902954 -81.434412
    Oben rechts KachelX + 1 120115 KachelY 119602 2.61634804 -1.42129861 149.905700 -81.434412
    Unten links KachelX 120114 KachelY + 1 119603 2.61630011 -1.42130575 149.902954 -81.434821
    Unten rechts KachelX + 1 120115 KachelY + 1 119603 2.61634804 -1.42130575 149.905700 -81.434821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42129861--1.42130575) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dl = 45.4889399993983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42129861--1.42130575) × R
    7.13999999990556e-06 × 6371000     		dr = 45.4889399993983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61630011-2.61634804) × cos(-1.42129861) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148941470537588 × 6371000     		do = 45.481069794571m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61630011-2.61634804) × cos(-1.42130575) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.148934410173256 × 6371000     		du = 45.4789138273859m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42129861)-sin(-1.42130575))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148941470537588-0.148934410173256)×R²
    abs(2.61634804-2.61630011)×7.06036433251178e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06036433251178e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06036433251178e-06×40589641000000     		ar = 2068.83661861316m²