Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120113 / 119572
↖ ↑ ↗
← S 81.422130°
E149.900207°		 ← 45.56 m → S 81.422130°
E149.902954°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.422540°
E149.900207°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 S 81.422540°
E149.902954°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916393280029297 y=0.912265777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916393280029297 × 217)
    floor (0.916393280029297 × 131072)
    floor (120113.5)     		tx = 120113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912265777587891 × 217)
    floor (0.912265777587891 × 131072)
    floor (119572.5)     		ty = 119572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120113 / 119572 ti = "17/120113/119572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120113/119572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120113 ÷ 217
    120113 ÷ 131072     		x = 0.916389465332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119572 ÷ 217
    119572 ÷ 131072     		y = 0.912261962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916389465332031 × 2 - 1) × π
    0.832778930664062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61625217
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912261962890625 × 2 - 1) × π
    -0.82452392578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59031830786935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61625217} λ = 2.61625217}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59031830786935))-π/2
    2×atan(0.0749961644163168)-π/2
    2×0.0748560335804694-π/2
    0.149712067160939-1.57079632675     		φ = -1.42108426
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61625217} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.900207°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42108426 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.422130°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120113 KachelY 119572 2.61625217 -1.42108426 149.900207 -81.422130
    Oben rechts KachelX + 1 120114 KachelY 119572 2.61630011 -1.42108426 149.902954 -81.422130
    Unten links KachelX 120113 KachelY + 1 119573 2.61625217 -1.42109141 149.900207 -81.422540
    Unten rechts KachelX + 1 120114 KachelY + 1 119573 2.61630011 -1.42109141 149.902954 -81.422540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42108426--1.42109141) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42108426--1.42109141) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61625217-2.61630011) × cos(-1.42108426) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149153426257326 × 6371000     		do = 45.5552955881492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61625217-2.61630011) × cos(-1.42109141) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149146356232947 × 6371000     		du = 45.5531362207217m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42108426)-sin(-1.42109141))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149153426257326-0.149146356232947)×R²
    abs(2.61630011-2.61625217)×7.07002437835835e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07002437835835e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07002437835835e-06×40589641000000     		ar = 2075.11525306184m²