Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12011 / 14116
↖ ↑ ↗
← N 24.166802°
W 48.043213°		 ← 1 114.57 m → N 24.166802°
W 48.032227°		 →
↑
1 114.61 m
↓
↑
1 114.61 m
↓
N 24.156778°
W 48.043213°		 ← 1 114.66 m →
1 242 358 m²		 N 24.156778°
W 48.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14116 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366561889648438 y=0.430801391601562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366561889648438 × 215)
    floor (0.366561889648438 × 32768)
    floor (12011.5)     		tx = 12011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430801391601562 × 215)
    floor (0.430801391601562 × 32768)
    floor (14116.5)     		ty = 14116
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12011 / 14116 ti = "15/12011/14116"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12011/14116.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12011 ÷ 215
    12011 ÷ 32768     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14116 ÷ 215
    14116 ÷ 32768     		y = 0.4307861328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4307861328125 × 2 - 1) × π
    0.138427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.434883553353149
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.434883553353149))-π/2
    2×atan(1.54478316365792)-π/2
    2×0.996293296424964-π/2
    1.99258659284993-1.57079632675     		φ = 0.42179027
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42179027 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.166802°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12011 KachelY 14116 -0.83851225 0.42179027 -48.043213 24.166802
    Oben rechts KachelX + 1 12012 KachelY 14116 -0.83832050 0.42179027 -48.032227 24.166802
    Unten links KachelX 12011 KachelY + 1 14117 -0.83851225 0.42161532 -48.043213 24.156778
    Unten rechts KachelX + 1 12012 KachelY + 1 14117 -0.83832050 0.42161532 -48.032227 24.156778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42179027-0.42161532) × R
    0.000174950000000007 × 6371000     		dl = 1114.60645000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42179027-0.42161532) × R
    0.000174950000000007 × 6371000     		dr = 1114.60645000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83832050) × cos(0.42179027) × R
    0.000191749999999935 × 0.912357476140885 × 6371000     		do = 1114.57170288427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83832050) × cos(0.42161532) × R
    0.000191749999999935 × 0.912429085741337 × 6371000     		du = 1114.65918398285m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42179027)-sin(0.42161532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912357476140885-0.912429085741337)×R²
    abs(-0.83832050--0.83851225)×7.16096004519384e-05×R²
    0.000191749999999935×7.16096004519384e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.16096004519384e-05×40589641000000     		ar = 1242357.56568963m²