Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 12011 / 13592
↖ ↑ ↗
← N 29.305561°
W 48.043213°		 ← 1 065.30 m → N 29.305561°
W 48.032227°		 →
↑
1 065.29 m
↓
↑
1 065.29 m
↓
N 29.295981°
W 48.043213°		 ← 1 065.40 m →
1 134 908 m²		 N 29.295981°
W 48.032227°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12011 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366561889648438 y=0.414810180664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366561889648438 × 215)
    floor (0.366561889648438 × 32768)
    floor (12011.5)     		tx = 12011
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414810180664062 × 215)
    floor (0.414810180664062 × 32768)
    floor (13592.5)     		ty = 13592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 12011 / 13592 ti = "15/12011/13592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/12011/13592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12011 ÷ 215
    12011 ÷ 32768     		x = 0.366546630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13592 ÷ 215
    13592 ÷ 32768     		y = 0.414794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366546630859375 × 2 - 1) × π
    -0.26690673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83851225
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414794921875 × 2 - 1) × π
    0.17041015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535359294956787
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83851225} λ = -0.83851225}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535359294956787))-π/2
    2×atan(1.70806183001952)-π/2
    2×1.04113743052856-π/2
    2.08227486105713-1.57079632675     		φ = 0.51147853
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83851225} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.043213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51147853 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.305561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12011 KachelY 13592 -0.83851225 0.51147853 -48.043213 29.305561
    Oben rechts KachelX + 1 12012 KachelY 13592 -0.83832050 0.51147853 -48.032227 29.305561
    Unten links KachelX 12011 KachelY + 1 13593 -0.83851225 0.51131132 -48.043213 29.295981
    Unten rechts KachelX + 1 12012 KachelY + 1 13593 -0.83832050 0.51131132 -48.032227 29.295981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51147853-0.51131132) × R
    0.000167209999999973 × 6371000     		dl = 1065.29490999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51147853-0.51131132) × R
    0.000167209999999973 × 6371000     		dr = 1065.29490999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83851225--0.83832050) × cos(0.51147853) × R
    0.000191749999999935 × 0.872021769272083 × 6371000     		do = 1065.29602019686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83851225--0.83832050) × cos(0.51131132) × R
    0.000191749999999935 × 0.872103600873606 × 6371000     		du = 1065.39598889317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51147853)-sin(0.51131132))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872021769272083-0.872103600873606)×R²
    abs(-0.83832050--0.83851225)×8.18316015230858e-05×R²
    0.000191749999999935×8.18316015230858e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.18316015230858e-05×40589641000000     		ar = 1134907.67867459m²