Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120109 / 119247
↖ ↑ ↗
← S 81.287960°
E149.889221°		 ← 46.26 m → S 81.287960°
E149.891968°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.288376°
E149.889221°		 ← 46.26 m →
2 140 m²		 S 81.288376°
E149.891968°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916362762451172 y=0.909786224365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916362762451172 × 217)
    floor (0.916362762451172 × 131072)
    floor (120109.5)     		tx = 120109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909786224365234 × 217)
    floor (0.909786224365234 × 131072)
    floor (119247.5)     		ty = 119247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120109 / 119247 ti = "17/120109/119247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120109/119247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120109 ÷ 217
    120109 ÷ 131072     		x = 0.916358947753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119247 ÷ 217
    119247 ÷ 131072     		y = 0.909782409667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916358947753906 × 2 - 1) × π
    0.832717895507812 × 3.1415926535     		Λ = 2.61606042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909782409667969 × 2 - 1) × π
    -0.819564819335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.57473881549284
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61606042} λ = 2.61606042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57473881549284))-π/2
    2×atan(0.0761737155950187)-π/2
    2×0.0760268953960337-π/2
    0.152053790792067-1.57079632675     		φ = -1.41874254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61606042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.889221°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41874254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.287960°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120109 KachelY 119247 2.61606042 -1.41874254 149.889221 -81.287960
    Oben rechts KachelX + 1 120110 KachelY 119247 2.61610836 -1.41874254 149.891968 -81.287960
    Unten links KachelX 120109 KachelY + 1 119248 2.61606042 -1.41874980 149.889221 -81.288376
    Unten rechts KachelX + 1 120110 KachelY + 1 119248 2.61610836 -1.41874980 149.891968 -81.288376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41874254--1.41874980) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41874254--1.41874980) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61606042-2.61610836) × cos(-1.41874254) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151468540861113 × 6371000     		do = 46.2623911791953m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61606042-2.61610836) × cos(-1.41874980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151461364622429 × 6371000     		du = 46.2601993711849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41874254)-sin(-1.41874980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151468540861113-0.151461364622429)×R²
    abs(2.61610836-2.61606042)×7.17623868351502e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17623868351502e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17623868351502e-06×40589641000000     		ar = 2139.74497042013m²