Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120105 / 119567
↖ ↑ ↗
← S 81.420082°
E149.878235°		 ← 45.56 m → S 81.420082°
E149.880981°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.420492°
E149.878235°		 ← 45.55 m →
2 075 m²		 S 81.420492°
E149.880981°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916332244873047 y=0.912227630615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916332244873047 × 217)
    floor (0.916332244873047 × 131072)
    floor (120105.5)     		tx = 120105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912227630615234 × 217)
    floor (0.912227630615234 × 131072)
    floor (119567.5)     		ty = 119567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120105 / 119567 ti = "17/120105/119567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120105/119567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120105 ÷ 217
    120105 ÷ 131072     		x = 0.916328430175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119567 ÷ 217
    119567 ÷ 131072     		y = 0.912223815917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916328430175781 × 2 - 1) × π
    0.832656860351562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61586868
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912223815917969 × 2 - 1) × π
    -0.824447631835938 × 3.1415926535     		Φ = -2.59007862337125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61586868} λ = 2.61586868}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59007862337125))-π/2
    2×atan(0.075014141988731)-π/2
    2×0.0748739105809365-π/2
    0.149747821161873-1.57079632675     		φ = -1.42104851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61586868} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.878235°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42104851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.420082°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120105 KachelY 119567 2.61586868 -1.42104851 149.878235 -81.420082
    Oben rechts KachelX + 1 120106 KachelY 119567 2.61591661 -1.42104851 149.880981 -81.420082
    Unten links KachelX 120105 KachelY + 1 119568 2.61586868 -1.42105566 149.878235 -81.420492
    Unten rechts KachelX + 1 120106 KachelY + 1 119568 2.61591661 -1.42105566 149.880981 -81.420492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42104851--1.42105566) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dl = 45.5526499990111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42104851--1.42105566) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dr = 45.5526499990111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61586868-2.61591661) × cos(-1.42104851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149188776264833 × 6371000     		do = 45.5565875734732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61586868-2.61591661) × cos(-1.42105566) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149181706278584 × 6371000     		du = 45.5544286681201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42104851)-sin(-1.42105566))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149188776264833-0.149181706278584)×R²
    abs(2.61591661-2.61586868)×7.06998624902533e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.06998624902533e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.06998624902533e-06×40589641000000     		ar = 2075.17411697583m²