Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120104 / 119549
↖ ↑ ↗
← S 81.412703°
E149.875488°		 ← 45.60 m → S 81.412703°
E149.878235°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.413113°
E149.875488°		 ← 45.60 m →
2 080 m²		 S 81.413113°
E149.878235°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916324615478516 y=0.912090301513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916324615478516 × 217)
    floor (0.916324615478516 × 131072)
    floor (120104.5)     		tx = 120104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912090301513672 × 217)
    floor (0.912090301513672 × 131072)
    floor (119549.5)     		ty = 119549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120104 / 119549 ti = "17/120104/119549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120104/119549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120104 ÷ 217
    120104 ÷ 131072     		x = 0.91632080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119549 ÷ 217
    119549 ÷ 131072     		y = 0.912086486816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91632080078125 × 2 - 1) × π
    0.8326416015625 × 3.1415926535     		Λ = 2.61582074
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912086486816406 × 2 - 1) × π
    -0.824172973632812 × 3.1415926535     		Φ = -2.58921575917809
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61582074} λ = 2.61582074}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58921575917809))-π/2
    2×atan(0.0750788969391801)-π/2
    2×0.0749383028752445-π/2
    0.149876605750489-1.57079632675     		φ = -1.42091972
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61582074} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.875488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42091972 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.412703°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120104 KachelY 119549 2.61582074 -1.42091972 149.875488 -81.412703
    Oben rechts KachelX + 1 120105 KachelY 119549 2.61586868 -1.42091972 149.878235 -81.412703
    Unten links KachelX 120104 KachelY + 1 119550 2.61582074 -1.42092688 149.875488 -81.413113
    Unten rechts KachelX + 1 120105 KachelY + 1 119550 2.61586868 -1.42092688 149.878235 -81.413113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42091972--1.42092688) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dl = 45.6163599986239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42091972--1.42092688) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dr = 45.6163599986239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61582074-2.61586868) × cos(-1.42091972) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149316123703825 × 6371000     		do = 45.6049875761424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61582074-2.61586868) × cos(-1.42092688) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149309043967106 × 6371000     		du = 45.6028252423159m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42091972)-sin(-1.42092688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149316123703825-0.149309043967106)×R²
    abs(2.61586868-2.61582074)×7.07973671912332e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07973671912332e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07973671912332e-06×40589641000000     		ar = 2080.28421218284m²