Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120102 / 119554
↖ ↑ ↗
← S 81.414754°
E149.869995°		 ← 45.59 m → S 81.414754°
E149.872742°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.415163°
E149.869995°		 ← 45.59 m →
2 077 m²		 S 81.415163°
E149.872742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119554 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916309356689453 y=0.912128448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916309356689453 × 217)
    floor (0.916309356689453 × 131072)
    floor (120102.5)     		tx = 120102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912128448486328 × 217)
    floor (0.912128448486328 × 131072)
    floor (119554.5)     		ty = 119554
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120102 / 119554 ti = "17/120102/119554"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120102/119554.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120102 ÷ 217
    120102 ÷ 131072     		x = 0.916305541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119554 ÷ 217
    119554 ÷ 131072     		y = 0.912124633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916305541992188 × 2 - 1) × π
    0.832611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61572486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912124633789062 × 2 - 1) × π
    -0.824249267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58945544367619
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61572486} λ = 2.61572486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58945544367619))-π/2
    2×atan(0.075060903847868)-π/2
    2×0.0749204106155823-π/2
    0.149840821231165-1.57079632675     		φ = -1.42095551
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61572486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.869995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42095551 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.414754°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120102 KachelY 119554 2.61572486 -1.42095551 149.869995 -81.414754
    Oben rechts KachelX + 1 120103 KachelY 119554 2.61577280 -1.42095551 149.872742 -81.414754
    Unten links KachelX 120102 KachelY + 1 119555 2.61572486 -1.42096266 149.869995 -81.415163
    Unten rechts KachelX + 1 120103 KachelY + 1 119555 2.61577280 -1.42096266 149.872742 -81.415163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42095551--1.42096266) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42095551--1.42096266) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61572486-2.61577280) × cos(-1.42095551) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149280734831636 × 6371000     		do = 45.5941789036664m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61572486-2.61577280) × cos(-1.42096266) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149273664944618 × 6371000     		du = 45.5920195781922m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42095551)-sin(-1.42096266))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149280734831636-0.149273664944618)×R²
    abs(2.61577280-2.61572486)×7.06988701798528e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06988701798528e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06988701798528e-06×40589641000000     		ar = 2076.88649222104m²