Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120102 / 119251
↖ ↑ ↗
← S 81.289624°
E149.869995°		 ← 46.25 m → S 81.289624°
E149.872742°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.290040°
E149.869995°		 ← 46.25 m →
2 139 m²		 S 81.290040°
E149.872742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916309356689453 y=0.909816741943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916309356689453 × 217)
    floor (0.916309356689453 × 131072)
    floor (120102.5)     		tx = 120102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909816741943359 × 217)
    floor (0.909816741943359 × 131072)
    floor (119251.5)     		ty = 119251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120102 / 119251 ti = "17/120102/119251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120102/119251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120102 ÷ 217
    120102 ÷ 131072     		x = 0.916305541992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119251 ÷ 217
    119251 ÷ 131072     		y = 0.909812927246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916305541992188 × 2 - 1) × π
    0.832611083984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61572486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909812927246094 × 2 - 1) × π
    -0.819625854492188 × 3.1415926535     		Φ = -2.57493056309132
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61572486} λ = 2.61572486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57493056309132))-π/2
    2×atan(0.0761591108682414)-π/2
    2×0.0760123749072948-π/2
    0.15202474981459-1.57079632675     		φ = -1.41877158
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61572486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.869995°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41877158 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.289624°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120102 KachelY 119251 2.61572486 -1.41877158 149.869995 -81.289624
    Oben rechts KachelX + 1 120103 KachelY 119251 2.61577280 -1.41877158 149.872742 -81.289624
    Unten links KachelX 120102 KachelY + 1 119252 2.61572486 -1.41877884 149.869995 -81.290040
    Unten rechts KachelX + 1 120103 KachelY + 1 119252 2.61577280 -1.41877884 149.872742 -81.290040
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41877158--1.41877884) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41877158--1.41877884) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61572486-2.61577280) × cos(-1.41877158) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151439835858481 × 6371000     		do = 46.2536239325249m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61572486-2.61577280) × cos(-1.41877884) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151432659587868 × 6371000     		du = 46.2514321147622m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41877158)-sin(-1.41877884))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151439835858481-0.151432659587868)×R²
    abs(2.61577280-2.61572486)×7.17627061389003e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17627061389003e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17627061389003e-06×40589641000000     		ar = 2139.33945475078m²