Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120095 / 119927
↖ ↑ ↗
← S 81.566343°
E149.850769°		 ← 44.79 m → S 81.566343°
E149.853515°		 →
↑
44.79 m
↓
↑
44.79 m
↓
S 81.566746°
E149.850769°		 ← 44.78 m →
2 006 m²		 S 81.566746°
E149.853515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119927 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916255950927734 y=0.914974212646484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916255950927734 × 217)
    floor (0.916255950927734 × 131072)
    floor (120095.5)     		tx = 120095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.914974212646484 × 217)
    floor (0.914974212646484 × 131072)
    floor (119927.5)     		ty = 119927
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120095 / 119927 ti = "17/120095/119927"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120095/119927.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120095 ÷ 217
    120095 ÷ 131072     		x = 0.916252136230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119927 ÷ 217
    119927 ÷ 131072     		y = 0.914970397949219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916252136230469 × 2 - 1) × π
    0.832504272460938 × 3.1415926535     		Λ = 2.61538931
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.914970397949219 × 2 - 1) × π
    -0.829940795898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.60733590723447
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61538931} λ = 2.61538931}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.60733590723447))-π/2
    2×atan(0.0737307077926775)-π/2
    2×0.073597536509992-π/2
    0.147195073019984-1.57079632675     		φ = -1.42360125
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61538931} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.850769°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42360125 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.566343°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120095 KachelY 119927 2.61538931 -1.42360125 149.850769 -81.566343
    Oben rechts KachelX + 1 120096 KachelY 119927 2.61543724 -1.42360125 149.853515 -81.566343
    Unten links KachelX 120095 KachelY + 1 119928 2.61538931 -1.42360828 149.850769 -81.566746
    Unten rechts KachelX + 1 120096 KachelY + 1 119928 2.61543724 -1.42360828 149.853515 -81.566746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42360125--1.42360828) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dl = 44.7881300008282m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42360125--1.42360828) × R
    7.03000000012999e-06 × 6371000     		dr = 44.7881300008282m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61538931-2.61543724) × cos(-1.42360125) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146664121310354 × 6371000     		do = 44.7856538115233m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61538931-2.61543724) × cos(-1.42360828) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.146657167326687 × 6371000     		du = 44.7835303289543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42360125)-sin(-1.42360828))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.146664121310354-0.146657167326687)×R²
    abs(2.61543724-2.61538931)×6.95398366645783e-06×R²
    4.79300000000293e-05×6.95398366645783e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×6.95398366645783e-06×40589641000000     		ar = 2005.81813167653m²