Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120093 / 119563
↖ ↑ ↗
← S 81.418443°
E149.845276°		 ← 45.57 m → S 81.418443°
E149.848022°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.418853°
E149.845276°		 ← 45.57 m →
2 076 m²		 S 81.418853°
E149.848022°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119563 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916240692138672 y=0.912197113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916240692138672 × 217)
    floor (0.916240692138672 × 131072)
    floor (120093.5)     		tx = 120093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912197113037109 × 217)
    floor (0.912197113037109 × 131072)
    floor (119563.5)     		ty = 119563
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120093 / 119563 ti = "17/120093/119563"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120093/119563.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120093 ÷ 217
    120093 ÷ 131072     		x = 0.916236877441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119563 ÷ 217
    119563 ÷ 131072     		y = 0.912193298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916236877441406 × 2 - 1) × π
    0.832473754882812 × 3.1415926535     		Λ = 2.61529343
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912193298339844 × 2 - 1) × π
    -0.824386596679688 × 3.1415926535     		Φ = -2.58988687577277
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61529343} λ = 2.61529343}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58988687577277))-π/2
    2×atan(0.0750285271494253)-π/2
    2×0.0748882152321832-π/2
    0.149776430464366-1.57079632675     		φ = -1.42101990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61529343} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.845276°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42101990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120093 KachelY 119563 2.61529343 -1.42101990 149.845276 -81.418443
    Oben rechts KachelX + 1 120094 KachelY 119563 2.61534137 -1.42101990 149.848022 -81.418443
    Unten links KachelX 120093 KachelY + 1 119564 2.61529343 -1.42102705 149.845276 -81.418853
    Unten rechts KachelX + 1 120094 KachelY + 1 119564 2.61534137 -1.42102705 149.848022 -81.418853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42101990--1.42102705) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dl = 45.5526500004257m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42101990--1.42102705) × R
    7.15000000006683e-06 × 6371000     		dr = 45.5526500004257m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61529343-2.61534137) × cos(-1.42101990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149217066021602 × 6371000     		do = 45.5747328102469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61529343-2.61534137) × cos(-1.42102705) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149209996065874 × 6371000     		du = 45.5725734637866m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42101990)-sin(-1.42102705))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149217066021602-0.149209996065874)×R²
    abs(2.61534137-2.61529343)×7.06995572880009e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06995572880009e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06995572880009e-06×40589641000000     		ar = 2076.00067075703m²