Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120091 / 119556
↖ ↑ ↗
← S 81.415574°
E149.839783°		 ← 45.59 m → S 81.415574°
E149.842530°		 →
↑
45.55 m
↓
↑
45.55 m
↓
S 81.415983°
E149.839783°		 ← 45.59 m →
2 077 m²		 S 81.415983°
E149.842530°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119556 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916225433349609 y=0.912143707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916225433349609 × 217)
    floor (0.916225433349609 × 131072)
    floor (120091.5)     		tx = 120091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912143707275391 × 217)
    floor (0.912143707275391 × 131072)
    floor (119556.5)     		ty = 119556
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120091 / 119556 ti = "17/120091/119556"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120091/119556.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120091 ÷ 217
    120091 ÷ 131072     		x = 0.916221618652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119556 ÷ 217
    119556 ÷ 131072     		y = 0.912139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916221618652344 × 2 - 1) × π
    0.832443237304688 × 3.1415926535     		Λ = 2.61519756
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912139892578125 × 2 - 1) × π
    -0.82427978515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58955131747543
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61519756} λ = 2.61519756}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58955131747543))-π/2
    2×atan(0.0750537078188026)-π/2
    2×0.074913254898956-π/2
    0.149826509797912-1.57079632675     		φ = -1.42096982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61519756} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.839783°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42096982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.415574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120091 KachelY 119556 2.61519756 -1.42096982 149.839783 -81.415574
    Oben rechts KachelX + 1 120092 KachelY 119556 2.61524550 -1.42096982 149.842530 -81.415574
    Unten links KachelX 120091 KachelY + 1 119557 2.61519756 -1.42097697 149.839783 -81.415983
    Unten rechts KachelX + 1 120092 KachelY + 1 119557 2.61524550 -1.42097697 149.842530 -81.415983
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42096982--1.42097697) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dl = 45.5526499990111m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42096982--1.42097697) × R
    7.14999999984478e-06 × 6371000     		dr = 45.5526499990111m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61519756-2.61524550) × cos(-1.42096982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149266585161999 × 6371000     		do = 45.5898572303468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61519756-2.61524550) × cos(-1.42097697) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149259515259709 × 6371000     		du = 45.5876979002079m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42096982)-sin(-1.42097697))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149266585161999-0.149259515259709)×R²
    abs(2.61524550-2.61519756)×7.06990229057403e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.06990229057403e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.06990229057403e-06×40589641000000     		ar = 2076.68962846048m²