Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120073 / 119562
↖ ↑ ↗
← S 81.418033°
E149.790344°		 ← 45.58 m → S 81.418033°
E149.793091°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.418443°
E149.790344°		 ← 45.57 m →
2 079 m²		 S 81.418443°
E149.793091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916088104248047 y=0.912189483642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916088104248047 × 217)
    floor (0.916088104248047 × 131072)
    floor (120073.5)     		tx = 120073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912189483642578 × 217)
    floor (0.912189483642578 × 131072)
    floor (119562.5)     		ty = 119562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120073 / 119562 ti = "17/120073/119562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120073/119562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120073 ÷ 217
    120073 ÷ 131072     		x = 0.916084289550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119562 ÷ 217
    119562 ÷ 131072     		y = 0.912185668945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916084289550781 × 2 - 1) × π
    0.832168579101562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61433469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912185668945312 × 2 - 1) × π
    -0.824371337890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58983893887315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61433469} λ = 2.61433469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58983893887315))-π/2
    2×atan(0.0750321238706071)-π/2
    2×0.0748917918187927-π/2
    0.149783583637585-1.57079632675     		φ = -1.42101274
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61433469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.790344°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42101274 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.418033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120073 KachelY 119562 2.61433469 -1.42101274 149.790344 -81.418033
    Oben rechts KachelX + 1 120074 KachelY 119562 2.61438263 -1.42101274 149.793091 -81.418033
    Unten links KachelX 120073 KachelY + 1 119563 2.61433469 -1.42101990 149.790344 -81.418443
    Unten rechts KachelX + 1 120074 KachelY + 1 119563 2.61438263 -1.42101990 149.793091 -81.418443
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42101274--1.42101990) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dl = 45.6163599986239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42101274--1.42101990) × R
    7.15999999978401e-06 × 6371000     		dr = 45.6163599986239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61433469-2.61438263) × cos(-1.42101274) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149224145857737 × 6371000     		do = 45.5768951744372m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61433469-2.61438263) × cos(-1.42101990) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149217066021602 × 6371000     		du = 45.5747328102469m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42101274)-sin(-1.42101990))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149224145857737-0.149217066021602)×R²
    abs(2.61438263-2.61433469)×7.07983613415508e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.07983613415508e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.07983613415508e-06×40589641000000     		ar = 2079.00273832874m²