Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 12007 / 12792
↖ ↑ ↗
← S 70.554179°
E 83.825684°		 ← 813.38 m → S 70.554179°
E 83.847656°		 →
↑
813.19 m
↓
↑
813.19 m
↓
S 70.561492°
E 83.825684°		 ← 813.09 m →
661 320 m²		 S 70.561492°
E 83.847656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 12007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 12792 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.732879638671875 y=0.780792236328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.732879638671875 × 214)
    floor (0.732879638671875 × 16384)
    floor (12007.5)     		tx = 12007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780792236328125 × 214)
    floor (0.780792236328125 × 16384)
    floor (12792.5)     		ty = 12792
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 12007 / 12792 ti = "14/12007/12792"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/12007/12792.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 12007 ÷ 214
    12007 ÷ 16384     		x = 0.73284912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 12792 ÷ 214
    12792 ÷ 16384     		y = 0.78076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73284912109375 × 2 - 1) × π
    0.4656982421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.46303418
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78076171875 × 2 - 1) × π
    -0.5615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76407790601807
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46303418} λ = 1.46303418}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76407790601807))-π/2
    2×atan(0.171344709589328)-π/2
    2×0.169696805143919-π/2
    0.339393610287838-1.57079632675     		φ = -1.23140272
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46303418} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 83.825684°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23140272 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.554179°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 12007 KachelY 12792 1.46303418 -1.23140272 83.825684 -70.554179
    Oben rechts KachelX + 1 12008 KachelY 12792 1.46341767 -1.23140272 83.847656 -70.554179
    Unten links KachelX 12007 KachelY + 1 12793 1.46303418 -1.23153036 83.825684 -70.561492
    Unten rechts KachelX + 1 12008 KachelY + 1 12793 1.46341767 -1.23153036 83.847656 -70.561492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23140272--1.23153036) × R
    0.000127640000000095 × 6371000     		dl = 813.194440000608m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23140272--1.23153036) × R
    0.000127640000000095 × 6371000     		dr = 813.194440000608m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46303418-1.46341767) × cos(-1.23140272) × R
    0.000383489999999931 × 0.332915350838873 × 6371000     		do = 813.383708987428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46303418-1.46341767) × cos(-1.23153036) × R
    0.000383489999999931 × 0.332794989131984 × 6371000     		du = 813.089639485005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23140272)-sin(-1.23153036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332915350838873-0.332794989131984)×R²
    abs(1.46341767-1.46303418)×0.000120361706889616×R²
    0.000383489999999931×0.000120361706889616×6371000²
    0.000383489999999931×0.000120361706889616×40589641000000     		ar = 661319.542792105m²