Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120062 / 117960
↖ ↑ ↗
← S 80.735886°
E149.760132°		 ← 49.17 m → S 80.735886°
E149.762879°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.736329°
E149.760132°		 ← 49.17 m →
2 418 m²		 S 80.736329°
E149.762879°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916004180908203 y=0.899967193603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916004180908203 × 217)
    floor (0.916004180908203 × 131072)
    floor (120062.5)     		tx = 120062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.899967193603516 × 217)
    floor (0.899967193603516 × 131072)
    floor (117960.5)     		ty = 117960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120062 / 117960 ti = "17/120062/117960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120062/117960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120062 ÷ 217
    120062 ÷ 131072     		x = 0.916000366210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117960 ÷ 217
    117960 ÷ 131072     		y = 0.89996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.916000366210938 × 2 - 1) × π
    0.832000732421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61380739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89996337890625 × 2 - 1) × π
    -0.7999267578125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51304402568182
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61380739} λ = 2.61380739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51304402568182))-π/2
    2×atan(0.0810212327712764)-π/2
    2×0.0808446414404169-π/2
    0.161689282880834-1.57079632675     		φ = -1.40910704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61380739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.760132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40910704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.735886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120062 KachelY 117960 2.61380739 -1.40910704 149.760132 -80.735886
    Oben rechts KachelX + 1 120063 KachelY 117960 2.61385533 -1.40910704 149.762879 -80.735886
    Unten links KachelX 120062 KachelY + 1 117961 2.61380739 -1.40911476 149.760132 -80.736329
    Unten rechts KachelX + 1 120063 KachelY + 1 117961 2.61385533 -1.40911476 149.762879 -80.736329
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40910704--1.40911476) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40910704--1.40911476) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61380739-2.61385533) × cos(-1.40910704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160985688512104 × 6371000     		do = 49.1691730431865m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61380739-2.61385533) × cos(-1.40911476) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160978069201268 × 6371000     		du = 49.1668459095363m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40910704)-sin(-1.40911476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160985688512104-0.160978069201268)×R²
    abs(2.61385533-2.61380739)×7.61931083562151e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61931083562151e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61931083562151e-06×40589641000000     		ar = 2418.28527834936m²