Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120054 / 119266
↖ ↑ ↗
← S 81.295860°
E149.738159°		 ← 46.22 m → S 81.295860°
E149.740906°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.296276°
E149.738159°		 ← 46.22 m →
2 138 m²		 S 81.296276°
E149.740906°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915943145751953 y=0.909931182861328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915943145751953 × 217)
    floor (0.915943145751953 × 131072)
    floor (120054.5)     		tx = 120054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909931182861328 × 217)
    floor (0.909931182861328 × 131072)
    floor (119266.5)     		ty = 119266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120054 / 119266 ti = "17/120054/119266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120054/119266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120054 ÷ 217
    120054 ÷ 131072     		x = 0.915939331054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119266 ÷ 217
    119266 ÷ 131072     		y = 0.909927368164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915939331054688 × 2 - 1) × π
    0.831878662109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61342389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909927368164062 × 2 - 1) × π
    -0.819854736328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57564961658562
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61342389} λ = 2.61342389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57564961658562))-π/2
    2×atan(0.076104368077305)-π/2
    2×0.0759579475794366-π/2
    0.151915895158873-1.57079632675     		φ = -1.41888043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61342389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.738159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41888043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.295860°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120054 KachelY 119266 2.61342389 -1.41888043 149.738159 -81.295860
    Oben rechts KachelX + 1 120055 KachelY 119266 2.61347183 -1.41888043 149.740906 -81.295860
    Unten links KachelX 120054 KachelY + 1 119267 2.61342389 -1.41888769 149.738159 -81.296276
    Unten rechts KachelX + 1 120055 KachelY + 1 119267 2.61347183 -1.41888769 149.740906 -81.296276
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41888043--1.41888769) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41888043--1.41888769) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61342389-2.61347183) × cos(-1.41888043) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151332240385521 × 6371000     		do = 46.2207615055752m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61342389-2.61347183) × cos(-1.41888769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151325063995277 × 6371000     		du = 46.2185696512744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41888043)-sin(-1.41888769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151332240385521-0.151325063995277)×R²
    abs(2.61347183-2.61342389)×7.17639024402916e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.17639024402916e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.17639024402916e-06×40589641000000     		ar = 2137.81945290417m²