Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120051 / 117974
↖ ↑ ↗
← S 80.742075°
E149.729919°		 ← 49.14 m → S 80.742075°
E149.732666°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.742517°
E149.729919°		 ← 49.13 m →
2 414 m²		 S 80.742517°
E149.732666°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915920257568359 y=0.900074005126953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915920257568359 × 217)
    floor (0.915920257568359 × 131072)
    floor (120051.5)     		tx = 120051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900074005126953 × 217)
    floor (0.900074005126953 × 131072)
    floor (117974.5)     		ty = 117974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120051 / 117974 ti = "17/120051/117974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120051/117974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120051 ÷ 217
    120051 ÷ 131072     		x = 0.915916442871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117974 ÷ 217
    117974 ÷ 131072     		y = 0.900070190429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915916442871094 × 2 - 1) × π
    0.831832885742188 × 3.1415926535     		Λ = 2.61328008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900070190429688 × 2 - 1) × π
    -0.800140380859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.5137151422765
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61328008} λ = 2.61328008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5137151422765))-π/2
    2×atan(0.0809668763192407)-π/2
    2×0.0807906392447886-π/2
    0.161581278489577-1.57079632675     		φ = -1.40921505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61328008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.729919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40921505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.742075°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120051 KachelY 117974 2.61328008 -1.40921505 149.729919 -80.742075
    Oben rechts KachelX + 1 120052 KachelY 117974 2.61332802 -1.40921505 149.732666 -80.742075
    Unten links KachelX 120051 KachelY + 1 117975 2.61328008 -1.40922276 149.729919 -80.742517
    Unten rechts KachelX + 1 120052 KachelY + 1 117975 2.61332802 -1.40922276 149.732666 -80.742517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40921505--1.40922276) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40921505--1.40922276) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61328008-2.61332802) × cos(-1.40921505) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160879086375701 × 6371000     		do = 49.1366140067902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61328008-2.61332802) × cos(-1.40922276) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160871476800431 × 6371000     		du = 49.1342898466322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40921505)-sin(-1.40922276))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160879086375701-0.160871476800431)×R²
    abs(2.61332802-2.61328008)×7.60957527029538e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60957527029538e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60957527029538e-06×40589641000000     		ar = 2413.5535442517m²