Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120050 / 119540
↖ ↑ ↗
← S 81.409011°
E149.727173°		 ← 45.61 m → S 81.409011°
E149.729919°		 →
↑
45.62 m
↓
↑
45.62 m
↓
S 81.409422°
E149.727173°		 ← 45.61 m →
2 081 m²		 S 81.409422°
E149.729919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915912628173828 y=0.912021636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915912628173828 × 217)
    floor (0.915912628173828 × 131072)
    floor (120050.5)     		tx = 120050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912021636962891 × 217)
    floor (0.912021636962891 × 131072)
    floor (119540.5)     		ty = 119540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120050 / 119540 ti = "17/120050/119540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120050/119540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120050 ÷ 217
    120050 ÷ 131072     		x = 0.915908813476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119540 ÷ 217
    119540 ÷ 131072     		y = 0.912017822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915908813476562 × 2 - 1) × π
    0.831817626953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61323215
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912017822265625 × 2 - 1) × π
    -0.82403564453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58878432708151
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61323215} λ = 2.61323215}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58878432708151))-π/2
    2×atan(0.0751112953734552)-π/2
    2×0.0749705196304242-π/2
    0.149941039260848-1.57079632675     		φ = -1.42085529
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61323215} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.727173°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42085529 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.409011°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120050 KachelY 119540 2.61323215 -1.42085529 149.727173 -81.409011
    Oben rechts KachelX + 1 120051 KachelY 119540 2.61328008 -1.42085529 149.729919 -81.409011
    Unten links KachelX 120050 KachelY + 1 119541 2.61323215 -1.42086245 149.727173 -81.409422
    Unten rechts KachelX + 1 120051 KachelY + 1 119541 2.61328008 -1.42086245 149.729919 -81.409422
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42085529--1.42086245) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dl = 45.6163600000385m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42085529--1.42086245) × R
    7.16000000000605e-06 × 6371000     		dr = 45.6163600000385m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61323215-2.61328008) × cos(-1.42085529) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149379831101992 × 6371000     		do = 45.6149284663892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61323215-2.61328008) × cos(-1.42086245) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149372751434168 × 6371000     		du = 45.6127666046508m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42085529)-sin(-1.42086245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149379831101992-0.149372751434168)×R²
    abs(2.61328008-2.61323215)×7.07966782395597e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.07966782395597e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.07966782395597e-06×40589641000000     		ar = 2080.73769020806m²