Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120047 / 119252
↖ ↑ ↗
← S 81.290040°
E149.718933°		 ← 46.24 m → S 81.290040°
E149.721680°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.290456°
E149.718933°		 ← 46.24 m →
2 139 m²		 S 81.290456°
E149.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119252 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915889739990234 y=0.909824371337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915889739990234 × 217)
    floor (0.915889739990234 × 131072)
    floor (120047.5)     		tx = 120047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909824371337891 × 217)
    floor (0.909824371337891 × 131072)
    floor (119252.5)     		ty = 119252
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120047 / 119252 ti = "17/120047/119252"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120047/119252.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120047 ÷ 217
    120047 ÷ 131072     		x = 0.915885925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119252 ÷ 217
    119252 ÷ 131072     		y = 0.909820556640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915885925292969 × 2 - 1) × π
    0.831771850585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.61308834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909820556640625 × 2 - 1) × π
    -0.81964111328125 × 3.1415926535     		Φ = -2.57497849999094
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61308834} λ = 2.61308834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57497849999094))-π/2
    2×atan(0.0761554601240919)-π/2
    2×0.0760087452151137-π/2
    0.152017490430227-1.57079632675     		φ = -1.41877884
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61308834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.718933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41877884 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.290040°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120047 KachelY 119252 2.61308834 -1.41877884 149.718933 -81.290040
    Oben rechts KachelX + 1 120048 KachelY 119252 2.61313627 -1.41877884 149.721680 -81.290040
    Unten links KachelX 120047 KachelY + 1 119253 2.61308834 -1.41878610 149.718933 -81.290456
    Unten rechts KachelX + 1 120048 KachelY + 1 119253 2.61313627 -1.41878610 149.721680 -81.290456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41877884--1.41878610) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41877884--1.41878610) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61308834-2.61313627) × cos(-1.41877884) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151432659587868 × 6371000     		do = 46.2417843400785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61308834-2.61313627) × cos(-1.41878610) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151425483309272 × 6371000     		du = 46.2395929770788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41877884)-sin(-1.41878610))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151432659587868-0.151425483309272)×R²
    abs(2.61313627-2.61308834)×7.17627859533887e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17627859533887e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17627859533887e-06×40589641000000     		ar = 2138.79184333854m²