Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120047 / 119250
↖ ↑ ↗
← S 81.289208°
E149.718933°		 ← 46.25 m → S 81.289208°
E149.721680°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
S 81.289624°
E149.718933°		 ← 46.24 m →
2 139 m²		 S 81.289624°
E149.721680°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119250 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915889739990234 y=0.909809112548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915889739990234 × 217)
    floor (0.915889739990234 × 131072)
    floor (120047.5)     		tx = 120047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.909809112548828 × 217)
    floor (0.909809112548828 × 131072)
    floor (119250.5)     		ty = 119250
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120047 / 119250 ti = "17/120047/119250"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120047/119250.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120047 ÷ 217
    120047 ÷ 131072     		x = 0.915885925292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119250 ÷ 217
    119250 ÷ 131072     		y = 0.909805297851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915885925292969 × 2 - 1) × π
    0.831771850585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.61308834
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.909805297851562 × 2 - 1) × π
    -0.819610595703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.5748826261917
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61308834} λ = 2.61308834}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.5748826261917))-π/2
    2×atan(0.0761627617874004)-π/2
    2×0.0760160047714694-π/2
    0.152032009542939-1.57079632675     		φ = -1.41876432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61308834} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.718933°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41876432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.289208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120047 KachelY 119250 2.61308834 -1.41876432 149.718933 -81.289208
    Oben rechts KachelX + 1 120048 KachelY 119250 2.61313627 -1.41876432 149.721680 -81.289208
    Unten links KachelX 120047 KachelY + 1 119251 2.61308834 -1.41877158 149.718933 -81.289624
    Unten rechts KachelX + 1 120048 KachelY + 1 119251 2.61313627 -1.41877158 149.721680 -81.289624
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41876432--1.41877158) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41876432--1.41877158) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61308834-2.61313627) × cos(-1.41876432) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151447012121113 × 6371000     		do = 46.2461670587661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61308834-2.61313627) × cos(-1.41877158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151439835858481 × 6371000     		du = 46.243975700641m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41876432)-sin(-1.41877158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151447012121113-0.151439835858481)×R²
    abs(2.61313627-2.61308834)×7.17626263188609e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.17626263188609e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.17626263188609e-06×40589641000000     		ar = 2138.99455931111m²