Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120046 / 119700
↖ ↑ ↗
← S 81.474408°
E149.716187°		 ← 45.28 m → S 81.474408°
E149.718933°		 →
↑
45.30 m
↓
↑
45.30 m
↓
S 81.474816°
E149.716187°		 ← 45.28 m →
2 051 m²		 S 81.474816°
E149.718933°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119700 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915882110595703 y=0.913242340087891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915882110595703 × 217)
    floor (0.915882110595703 × 131072)
    floor (120046.5)     		tx = 120046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.913242340087891 × 217)
    floor (0.913242340087891 × 131072)
    floor (119700.5)     		ty = 119700
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120046 / 119700 ti = "17/120046/119700"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120046/119700.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120046 ÷ 217
    120046 ÷ 131072     		x = 0.915878295898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119700 ÷ 217
    119700 ÷ 131072     		y = 0.913238525390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915878295898438 × 2 - 1) × π
    0.831756591796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61304040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.913238525390625 × 2 - 1) × π
    -0.82647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.59645423102072
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61304040} λ = 2.61304040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59645423102072))-π/2
    2×atan(0.0745374026177286)-π/2
    2×0.0743998220449974-π/2
    0.148799644089995-1.57079632675     		φ = -1.42199668
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61304040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.716187°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42199668 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.474408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120046 KachelY 119700 2.61304040 -1.42199668 149.716187 -81.474408
    Oben rechts KachelX + 1 120047 KachelY 119700 2.61308834 -1.42199668 149.718933 -81.474408
    Unten links KachelX 120046 KachelY + 1 119701 2.61304040 -1.42200379 149.716187 -81.474816
    Unten rechts KachelX + 1 120047 KachelY + 1 119701 2.61308834 -1.42200379 149.718933 -81.474816
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42199668--1.42200379) × R
    7.11000000008788e-06 × 6371000     		dl = 45.2978100005599m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42199668--1.42200379) × R
    7.11000000008788e-06 × 6371000     		dr = 45.2978100005599m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61304040-2.61308834) × cos(-1.42199668) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148251150567312 × 6371000     		do = 45.2797173678431m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61304040-2.61308834) × cos(-1.42200379) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148244119130885 × 6371000     		du = 45.2775697861689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42199668)-sin(-1.42200379))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148251150567312-0.148244119130885)×R²
    abs(2.61308834-2.61304040)×7.03143642777349e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.03143642777349e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.03143642777349e-06×40589641000000     		ar = 2051.02339394208m²