Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120043 / 117967
↖ ↑ ↗
← S 80.738981°
E149.707947°		 ← 49.14 m → S 80.738981°
E149.710693°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.739423°
E149.707947°		 ← 49.14 m →
2 414 m²		 S 80.739423°
E149.710693°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117967 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915859222412109 y=0.900020599365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915859222412109 × 217)
    floor (0.915859222412109 × 131072)
    floor (120043.5)     		tx = 120043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900020599365234 × 217)
    floor (0.900020599365234 × 131072)
    floor (117967.5)     		ty = 117967
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120043 / 117967 ti = "17/120043/117967"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120043/117967.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120043 ÷ 217
    120043 ÷ 131072     		x = 0.915855407714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117967 ÷ 217
    117967 ÷ 131072     		y = 0.900016784667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915855407714844 × 2 - 1) × π
    0.831710815429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.61289659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900016784667969 × 2 - 1) × π
    -0.800033569335938 × 3.1415926535     		Φ = -2.51337958397916
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61289659} λ = 2.61289659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51337958397916))-π/2
    2×atan(0.080994049985319)-π/2
    2×0.0808176358714311-π/2
    0.161635271742862-1.57079632675     		φ = -1.40916106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61289659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.707947°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40916106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.738981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120043 KachelY 117967 2.61289659 -1.40916106 149.707947 -80.738981
    Oben rechts KachelX + 1 120044 KachelY 117967 2.61294452 -1.40916106 149.710693 -80.738981
    Unten links KachelX 120043 KachelY + 1 117968 2.61289659 -1.40916877 149.707947 -80.739423
    Unten rechts KachelX + 1 120044 KachelY + 1 117968 2.61294452 -1.40916877 149.710693 -80.739423
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40916106--1.40916877) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40916106--1.40916877) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61289659-2.61294452) × cos(-1.40916106) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160932372874104 × 6371000     		do = 49.1426360735834m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61289659-2.61294452) × cos(-1.40916877) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.160924763365811 × 6371000     		du = 49.1403124186838m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40916106)-sin(-1.40916877))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160932372874104-0.160924763365811)×R²
    abs(2.61294452-2.61289659)×7.6095082927885e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.6095082927885e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.6095082927885e-06×40589641000000     		ar = 2413.84936301117m²