Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120039 / 119287
↖ ↑ ↗
← S 81.304585°
E149.696960°		 ← 46.17 m → S 81.304585°
E149.699707°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
S 81.305000°
E149.696960°		 ← 46.17 m →
2 133 m²		 S 81.305000°
E149.699707°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120039 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119287 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915828704833984 y=0.910091400146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915828704833984 × 217)
    floor (0.915828704833984 × 131072)
    floor (120039.5)     		tx = 120039
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.910091400146484 × 217)
    floor (0.910091400146484 × 131072)
    floor (119287.5)     		ty = 119287
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120039 / 119287 ti = "17/120039/119287"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120039/119287.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120039 ÷ 217
    120039 ÷ 131072     		x = 0.915824890136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119287 ÷ 217
    119287 ÷ 131072     		y = 0.910087585449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915824890136719 × 2 - 1) × π
    0.831649780273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.61270484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.910087585449219 × 2 - 1) × π
    -0.820175170898438 × 3.1415926535     		Φ = -2.57665629147764
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61270484} λ = 2.61270484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.57665629147764))-π/2
    2×atan(0.0760277942697198)-π/2
    2×0.0758818142828498-π/2
    0.1517636285657-1.57079632675     		φ = -1.41903270
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61270484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.696960°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41903270 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.304585°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120039 KachelY 119287 2.61270484 -1.41903270 149.696960 -81.304585
    Oben rechts KachelX + 1 120040 KachelY 119287 2.61275278 -1.41903270 149.699707 -81.304585
    Unten links KachelX 120039 KachelY + 1 119288 2.61270484 -1.41903995 149.696960 -81.305000
    Unten rechts KachelX + 1 120040 KachelY + 1 119288 2.61275278 -1.41903995 149.699707 -81.305000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41903270--1.41903995) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41903270--1.41903995) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61270484-2.61275278) × cos(-1.41903270) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151181722332085 × 6371000     		do = 46.1747894177212m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61270484-2.61275278) × cos(-1.41903995) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151174555659704 × 6371000     		du = 46.172600531506m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41903270)-sin(-1.41903995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151181722332085-0.151174555659704)×R²
    abs(2.61275278-2.61270484)×7.16667238065405e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16667238065405e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16667238065405e-06×40589641000000     		ar = 2132.75142756105m²