Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120037 / 119455
↖ ↑ ↗
← S 81.374067°
E149.691468°		 ← 45.80 m → S 81.374067°
E149.694214°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.374479°
E149.691468°		 ← 45.80 m →
2 098 m²		 S 81.374479°
E149.694214°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120037 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119455 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915813446044922 y=0.911373138427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915813446044922 × 217)
    floor (0.915813446044922 × 131072)
    floor (120037.5)     		tx = 120037
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911373138427734 × 217)
    floor (0.911373138427734 × 131072)
    floor (119455.5)     		ty = 119455
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120037 / 119455 ti = "17/120037/119455"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120037/119455.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120037 ÷ 217
    120037 ÷ 131072     		x = 0.915809631347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119455 ÷ 217
    119455 ÷ 131072     		y = 0.911369323730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915809631347656 × 2 - 1) × π
    0.831619262695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.61260897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911369323730469 × 2 - 1) × π
    -0.822738647460938 × 3.1415926535     		Φ = -2.58470969061381
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61260897} λ = 2.61260897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58470969061381))-π/2
    2×atan(0.075417970968199)-π/2
    2×0.0752754677633198-π/2
    0.15055093552664-1.57079632675     		φ = -1.42024539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61260897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.691468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42024539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.374067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120037 KachelY 119455 2.61260897 -1.42024539 149.691468 -81.374067
    Oben rechts KachelX + 1 120038 KachelY 119455 2.61265690 -1.42024539 149.694214 -81.374067
    Unten links KachelX 120037 KachelY + 1 119456 2.61260897 -1.42025258 149.691468 -81.374479
    Unten rechts KachelX + 1 120038 KachelY + 1 119456 2.61265690 -1.42025258 149.694214 -81.374479
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42024539--1.42025258) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42024539--1.42025258) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61260897-2.61265690) × cos(-1.42024539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149982860135027 × 6371000     		do = 45.7990706360659m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61260897-2.61265690) × cos(-1.42025258) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149975751460138 × 6371000     		du = 45.7968999166714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42024539)-sin(-1.42025258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149982860135027-0.149975751460138)×R²
    abs(2.61265690-2.61260897)×7.10867488856737e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10867488856737e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10867488856737e-06×40589641000000     		ar = 2097.89075252137m²