Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120028 / 117970
↖ ↑ ↗
← S 80.740307°
E149.666748°		 ← 49.15 m → S 80.740307°
E149.669495°		 →
↑
49.12 m
↓
↑
49.12 m
↓
S 80.740749°
E149.666748°		 ← 49.14 m →
2 414 m²		 S 80.740749°
E149.669495°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915744781494141 y=0.900043487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915744781494141 × 217)
    floor (0.915744781494141 × 131072)
    floor (120028.5)     		tx = 120028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900043487548828 × 217)
    floor (0.900043487548828 × 131072)
    floor (117970.5)     		ty = 117970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120028 / 117970 ti = "17/120028/117970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120028/117970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120028 ÷ 217
    120028 ÷ 131072     		x = 0.915740966796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117970 ÷ 217
    117970 ÷ 131072     		y = 0.900039672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915740966796875 × 2 - 1) × π
    0.83148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61217753
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900039672851562 × 2 - 1) × π
    -0.800079345703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.51352339467802
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61217753} λ = 2.61217753}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51352339467802))-π/2
    2×atan(0.0809824030118869)-π/2
    2×0.0808060647937716-π/2
    0.161612129587543-1.57079632675     		φ = -1.40918420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61217753} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.666748°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40918420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.740307°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120028 KachelY 117970 2.61217753 -1.40918420 149.666748 -80.740307
    Oben rechts KachelX + 1 120029 KachelY 117970 2.61222547 -1.40918420 149.669495 -80.740307
    Unten links KachelX 120028 KachelY + 1 117971 2.61217753 -1.40919191 149.666748 -80.740749
    Unten rechts KachelX + 1 120029 KachelY + 1 117971 2.61222547 -1.40919191 149.669495 -80.740749
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40918420--1.40919191) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dl = 49.1204099999625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40918420--1.40919191) × R
    7.70999999999411e-06 × 6371000     		dr = 49.1204099999625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61217753-2.61222547) × cos(-1.40918420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160909534450836 × 6371000     		do = 49.1459136326699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61217753-2.61222547) × cos(-1.40919191) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160901924913834 × 6371000     		du = 49.1435894842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40918420)-sin(-1.40919191))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160909534450836-0.160901924913834)×R²
    abs(2.61222547-2.61217753)×7.60953700190692e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.60953700190692e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.60953700190692e-06×40589641000000     		ar = 2414.01034590547m²