Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120025 / 117966
↖ ↑ ↗
← S 80.738539°
E149.658508°		 ← 49.16 m → S 80.738539°
E149.661255°		 →
↑
49.18 m
↓
↑
49.18 m
↓
S 80.738981°
E149.658508°		 ← 49.15 m →
2 418 m²		 S 80.738981°
E149.661255°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 117966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915721893310547 y=0.900012969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915721893310547 × 217)
    floor (0.915721893310547 × 131072)
    floor (120025.5)     		tx = 120025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.900012969970703 × 217)
    floor (0.900012969970703 × 131072)
    floor (117966.5)     		ty = 117966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120025 / 117966 ti = "17/120025/117966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120025/117966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120025 ÷ 217
    120025 ÷ 131072     		x = 0.915718078613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 117966 ÷ 217
    117966 ÷ 131072     		y = 0.900009155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915718078613281 × 2 - 1) × π
    0.831436157226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.61203372
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.900009155273438 × 2 - 1) × π
    -0.800018310546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.51333164707954
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61203372} λ = 2.61203372}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.51333164707954))-π/2
    2×atan(0.0809979326820244)-π/2
    2×0.0808214932622999-π/2
    0.1616429865246-1.57079632675     		φ = -1.40915334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61203372} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.658508°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40915334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.738539°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120025 KachelY 117966 2.61203372 -1.40915334 149.658508 -80.738539
    Oben rechts KachelX + 1 120026 KachelY 117966 2.61208166 -1.40915334 149.661255 -80.738539
    Unten links KachelX 120025 KachelY + 1 117967 2.61203372 -1.40916106 149.658508 -80.738981
    Unten rechts KachelX + 1 120026 KachelY + 1 117967 2.61208166 -1.40916106 149.661255 -80.738981
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40915334--1.40916106) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dl = 49.1841199995753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40915334--1.40916106) × R
    7.71999999993334e-06 × 6371000     		dr = 49.1841199995753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61203372-2.61208166) × cos(-1.40915334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160939992242472 × 6371000     		do = 49.1552162262191m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61203372-2.61208166) × cos(-1.40916106) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.160932372874104 × 6371000     		du = 49.1528890749969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40915334)-sin(-1.40916106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.160939992242472-0.160932372874104)×R²
    abs(2.61208166-2.61203372)×7.61936836818355e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.61936836818355e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.61936836818355e-06×40589641000000     		ar = 2417.59882405576m²