Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120024 / 118840
↖ ↑ ↗
← S 81.116996°
E149.655762°		 ← 47.15 m → S 81.116996°
E149.658508°		 →
↑
47.15 m
↓
↑
47.15 m
↓
S 81.117420°
E149.655762°		 ← 47.15 m →
2 223 m²		 S 81.117420°
E149.658508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118840 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915714263916016 y=0.906681060791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915714263916016 × 217)
    floor (0.915714263916016 × 131072)
    floor (120024.5)     		tx = 120024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906681060791016 × 217)
    floor (0.906681060791016 × 131072)
    floor (118840.5)     		ty = 118840
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120024 / 118840 ti = "17/120024/118840"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120024/118840.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120024 ÷ 217
    120024 ÷ 131072     		x = 0.91571044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118840 ÷ 217
    118840 ÷ 131072     		y = 0.90667724609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.91571044921875 × 2 - 1) × π
    0.8314208984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.61198579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.90667724609375 × 2 - 1) × π
    -0.8133544921875 × 3.1415926535     		Φ = -2.55522849734747
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61198579} λ = 2.61198579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55522849734747))-π/2
    2×atan(0.0776744816263973)-π/2
    2×0.0775188328869782-π/2
    0.155037665773956-1.57079632675     		φ = -1.41575866
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61198579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.655762°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41575866 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.116996°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120024 KachelY 118840 2.61198579 -1.41575866 149.655762 -81.116996
    Oben rechts KachelX + 1 120025 KachelY 118840 2.61203372 -1.41575866 149.658508 -81.116996
    Unten links KachelX 120024 KachelY + 1 118841 2.61198579 -1.41576606 149.655762 -81.117420
    Unten rechts KachelX + 1 120025 KachelY + 1 118841 2.61203372 -1.41576606 149.658508 -81.117420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41575866--1.41576606) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dl = 47.1453999992337m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41575866--1.41576606) × R
    7.39999999987973e-06 × 6371000     		dr = 47.1453999992337m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61198579-2.61203372) × cos(-1.41575866) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154417314409303 × 6371000     		do = 47.153184595202m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61198579-2.61203372) × cos(-1.41576606) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154410003162784 × 6371000     		du = 47.1509520181231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41575866)-sin(-1.41576606))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154417314409303-0.154410003162784)×R²
    abs(2.61203372-2.61198579)×7.3112465192593e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.3112465192593e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.3112465192593e-06×40589641000000     		ar = 2223.0031210775m²