Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120021 / 119506
↖ ↑ ↗
← S 81.395050°
E149.647522°		 ← 45.69 m → S 81.395050°
E149.650268°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.395462°
E149.647522°		 ← 45.69 m →
2 090 m²		 S 81.395462°
E149.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119506 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915691375732422 y=0.911762237548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915691375732422 × 217)
    floor (0.915691375732422 × 131072)
    floor (120021.5)     		tx = 120021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911762237548828 × 217)
    floor (0.911762237548828 × 131072)
    floor (119506.5)     		ty = 119506
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120021 / 119506 ti = "17/120021/119506"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120021/119506.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120021 ÷ 217
    120021 ÷ 131072     		x = 0.915687561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119506 ÷ 217
    119506 ÷ 131072     		y = 0.911758422851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915687561035156 × 2 - 1) × π
    0.831375122070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.61184198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911758422851562 × 2 - 1) × π
    -0.823516845703125 × 3.1415926535     		Φ = -2.58715447249443
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61184198} λ = 2.61184198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58715447249443))-π/2
    2×atan(0.0752338156807816)-π/2
    2×0.0750923514764264-π/2
    0.150184702952853-1.57079632675     		φ = -1.42061162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61184198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.647522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42061162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.395050°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120021 KachelY 119506 2.61184198 -1.42061162 149.647522 -81.395050
    Oben rechts KachelX + 1 120022 KachelY 119506 2.61188991 -1.42061162 149.650268 -81.395050
    Unten links KachelX 120021 KachelY + 1 119507 2.61184198 -1.42061880 149.647522 -81.395462
    Unten rechts KachelX + 1 120022 KachelY + 1 119507 2.61188991 -1.42061880 149.650268 -81.395462
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42061162--1.42061880) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42061162--1.42061880) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61184198-2.61188991) × cos(-1.42061162) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149620762660092 × 6371000     		do = 45.6884998160619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61184198-2.61188991) × cos(-1.42061880) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149613663478201 × 6371000     		du = 45.6863319954684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42061162)-sin(-1.42061880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149620762660092-0.149613663478201)×R²
    abs(2.61188991-2.61184198)×7.09918189087388e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.09918189087388e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.09918189087388e-06×40589641000000     		ar = 2089.91510187987m²