Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120021 / 118827
↖ ↑ ↗
← S 81.111481°
E149.647522°		 ← 47.18 m → S 81.111481°
E149.650268°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.111905°
E149.647522°		 ← 47.18 m →
2 227 m²		 S 81.111905°
E149.650268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120021 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118827 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915691375732422 y=0.906581878662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915691375732422 × 217)
    floor (0.915691375732422 × 131072)
    floor (120021.5)     		tx = 120021
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906581878662109 × 217)
    floor (0.906581878662109 × 131072)
    floor (118827.5)     		ty = 118827
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120021 / 118827 ti = "17/120021/118827"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120021/118827.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120021 ÷ 217
    120021 ÷ 131072     		x = 0.915687561035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118827 ÷ 217
    118827 ÷ 131072     		y = 0.906578063964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915687561035156 × 2 - 1) × π
    0.831375122070312 × 3.1415926535     		Λ = 2.61184198
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906578063964844 × 2 - 1) × π
    -0.813156127929688 × 3.1415926535     		Φ = -2.55460531765241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61184198} λ = 2.61184198}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55460531765241))-π/2
    2×atan(0.0777229018718611)-π/2
    2×0.0775669625693674-π/2
    0.155133925138735-1.57079632675     		φ = -1.41566240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61184198} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.647522°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41566240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.111481°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120021 KachelY 118827 2.61184198 -1.41566240 149.647522 -81.111481
    Oben rechts KachelX + 1 120022 KachelY 118827 2.61188991 -1.41566240 149.650268 -81.111481
    Unten links KachelX 120021 KachelY + 1 118828 2.61184198 -1.41566981 149.647522 -81.111905
    Unten rechts KachelX + 1 120022 KachelY + 1 118828 2.61188991 -1.41566981 149.650268 -81.111905
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41566240--1.41566981) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41566240--1.41566981) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61184198-2.61188991) × cos(-1.41566240) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154512419123875 × 6371000     		do = 47.1822259639061m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61184198-2.61188991) × cos(-1.41566981) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.154505098107462 × 6371000     		du = 47.1799904034726m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41566240)-sin(-1.41566981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154512419123875-0.154505098107462)×R²
    abs(2.61188991-2.61184198)×7.32101641290339e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.32101641290339e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.32101641290339e-06×40589641000000     		ar = 2227.37812614103m²