Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120020 / 119460
↖ ↑ ↗
← S 81.376127°
E149.644775°		 ← 45.80 m → S 81.376127°
E149.647522°		 →
↑
45.74 m
↓
↑
45.74 m
↓
S 81.376538°
E149.644775°		 ← 45.80 m →
2 095 m²		 S 81.376538°
E149.647522°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120020 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915683746337891 y=0.911411285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915683746337891 × 217)
    floor (0.915683746337891 × 131072)
    floor (120020.5)     		tx = 120020
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911411285400391 × 217)
    floor (0.911411285400391 × 131072)
    floor (119460.5)     		ty = 119460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120020 / 119460 ti = "17/120020/119460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120020/119460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120020 ÷ 217
    120020 ÷ 131072     		x = 0.915679931640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119460 ÷ 217
    119460 ÷ 131072     		y = 0.911407470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915679931640625 × 2 - 1) × π
    0.83135986328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61179404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911407470703125 × 2 - 1) × π
    -0.82281494140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.58494937511191
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61179404} λ = 2.61179404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58494937511191))-π/2
    2×atan(0.0753998966158373)-π/2
    2×0.075257495609741-π/2
    0.150514991219482-1.57079632675     		φ = -1.42028134
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61179404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.644775°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42028134 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.376127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120020 KachelY 119460 2.61179404 -1.42028134 149.644775 -81.376127
    Oben rechts KachelX + 1 120021 KachelY 119460 2.61184198 -1.42028134 149.647522 -81.376127
    Unten links KachelX 120020 KachelY + 1 119461 2.61179404 -1.42028852 149.644775 -81.376538
    Unten rechts KachelX + 1 120021 KachelY + 1 119461 2.61184198 -1.42028852 149.647522 -81.376538
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42028134--1.42028852) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dl = 45.7437799992642m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42028134--1.42028852) × R
    7.1799999998845e-06 × 6371000     		dr = 45.7437799992642m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61179404-2.61184198) × cos(-1.42028134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149947316683056 × 6371000     		do = 45.7977701589068m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61179404-2.61184198) × cos(-1.42028852) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.149940217856357 × 6371000     		du = 45.7956019945089m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42028134)-sin(-1.42028852))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.149947316683056-0.149940217856357)×R²
    abs(2.61184198-2.61179404)×7.09882669988615e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.09882669988615e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.09882669988615e-06×40589641000000     		ar = 2094.91353270448m²