Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120017 / 119620
↖ ↑ ↗
← S 81.441772°
E149.636536°		 ← 45.45 m → S 81.441772°
E149.639283°		 →
↑
45.43 m
↓
↑
45.43 m
↓
S 81.442181°
E149.636536°		 ← 45.45 m →
2 065 m²		 S 81.442181°
E149.639283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915660858154297 y=0.912631988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915660858154297 × 217)
    floor (0.915660858154297 × 131072)
    floor (120017.5)     		tx = 120017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.912631988525391 × 217)
    floor (0.912631988525391 × 131072)
    floor (119620.5)     		ty = 119620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120017 / 119620 ti = "17/120017/119620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120017/119620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120017 ÷ 217
    120017 ÷ 131072     		x = 0.915657043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119620 ÷ 217
    119620 ÷ 131072     		y = 0.912628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915657043457031 × 2 - 1) × π
    0.831314086914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61165023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.912628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.82525634765625 × 3.1415926535     		Φ = -2.59261927905112
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61165023} λ = 2.61165023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.59261927905112))-π/2
    2×atan(0.0748237987834778)-π/2
    2×0.0746846297813797-π/2
    0.149369259562759-1.57079632675     		φ = -1.42142707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61165023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.636536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42142707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.441772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120017 KachelY 119620 2.61165023 -1.42142707 149.636536 -81.441772
    Oben rechts KachelX + 1 120018 KachelY 119620 2.61169817 -1.42142707 149.639283 -81.441772
    Unten links KachelX 120017 KachelY + 1 119621 2.61165023 -1.42143420 149.636536 -81.442181
    Unten rechts KachelX + 1 120018 KachelY + 1 119621 2.61169817 -1.42143420 149.639283 -81.442181
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42142707--1.42143420) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dl = 45.4252299997855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42142707--1.42143420) × R
    7.12999999996633e-06 × 6371000     		dr = 45.4252299997855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61165023-2.61169817) × cos(-1.42142707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148814442150133 × 6371000     		do = 45.4517611163619m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61165023-2.61169817) × cos(-1.42143420) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.148807391537915 × 6371000     		du = 45.4496076779075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42142707)-sin(-1.42143420))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.148814442150133-0.148807391537915)×R²
    abs(2.61169817-2.61165023)×7.05061221883962e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.05061221883962e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.05061221883962e-06×40589641000000     		ar = 2064.60779231688m²