Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120017 / 118829
↖ ↑ ↗
← S 81.112329°
E149.636536°		 ← 47.19 m → S 81.112329°
E149.639283°		 →
↑
47.21 m
↓
↑
47.21 m
↓
S 81.112754°
E149.636536°		 ← 47.19 m →
2 228 m²		 S 81.112754°
E149.639283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120017 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915660858154297 y=0.906597137451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915660858154297 × 217)
    floor (0.915660858154297 × 131072)
    floor (120017.5)     		tx = 120017
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.906597137451172 × 217)
    floor (0.906597137451172 × 131072)
    floor (118829.5)     		ty = 118829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120017 / 118829 ti = "17/120017/118829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120017/118829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120017 ÷ 217
    120017 ÷ 131072     		x = 0.915657043457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118829 ÷ 217
    118829 ÷ 131072     		y = 0.906593322753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915657043457031 × 2 - 1) × π
    0.831314086914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.61165023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.906593322753906 × 2 - 1) × π
    -0.813186645507812 × 3.1415926535     		Φ = -2.55470119145165
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61165023} λ = 2.61165023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.55470119145165))-π/2
    2×atan(0.0777154506391654)-π/2
    2×0.0775595560739067-π/2
    0.155119112147813-1.57079632675     		φ = -1.41567721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61165023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.636536°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41567721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.112329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120017 KachelY 118829 2.61165023 -1.41567721 149.636536 -81.112329
    Oben rechts KachelX + 1 120018 KachelY 118829 2.61169817 -1.41567721 149.639283 -81.112329
    Unten links KachelX 120017 KachelY + 1 118830 2.61165023 -1.41568462 149.636536 -81.112754
    Unten rechts KachelX + 1 120018 KachelY + 1 118830 2.61169817 -1.41568462 149.639283 -81.112754
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41567721--1.41568462) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dl = 47.2091100002612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41567721--1.41568462) × R
    7.41000000004099e-06 × 6371000     		dr = 47.2091100002612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61165023-2.61169817) × cos(-1.41567721) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154497786962497 × 6371000     		do = 47.187600911352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61165023-2.61169817) × cos(-1.41568462) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.154490465929129 × 6371000     		du = 47.185364879318m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41567721)-sin(-1.41568462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154497786962497-0.154490465929129)×R²
    abs(2.61169817-2.61165023)×7.32103336822942e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.32103336822942e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.32103336822942e-06×40589641000000     		ar = 2227.63186149052m²