Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120016 / 118224
↖ ↑ ↗
← S 80.851891°
E149.633789°		 ← 48.56 m → S 80.851891°
E149.636536°		 →
↑
48.55 m
↓
↑
48.55 m
↓
S 80.852327°
E149.633789°		 ← 48.56 m →
2 357 m²		 S 80.852327°
E149.636536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120016 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 118224 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915653228759766 y=0.901981353759766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915653228759766 × 217)
    floor (0.915653228759766 × 131072)
    floor (120016.5)     		tx = 120016
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901981353759766 × 217)
    floor (0.901981353759766 × 131072)
    floor (118224.5)     		ty = 118224
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120016 / 118224 ti = "17/120016/118224"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120016/118224.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120016 ÷ 217
    120016 ÷ 131072     		x = 0.9156494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 118224 ÷ 217
    118224 ÷ 131072     		y = 0.9019775390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9156494140625 × 2 - 1) × π
    0.831298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.61160229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9019775390625 × 2 - 1) × π
    -0.803955078125 × 3.1415926535     		Φ = -2.52569936718152
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61160229} λ = 2.61160229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52569936718152))-π/2
    2×atan(0.0800023422044253)-π/2
    2×0.0798323130214476-π/2
    0.159664626042895-1.57079632675     		φ = -1.41113170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61160229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.633789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41113170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.851891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120016 KachelY 118224 2.61160229 -1.41113170 149.633789 -80.851891
    Oben rechts KachelX + 1 120017 KachelY 118224 2.61165023 -1.41113170 149.636536 -80.851891
    Unten links KachelX 120016 KachelY + 1 118225 2.61160229 -1.41113932 149.633789 -80.852327
    Unten rechts KachelX + 1 120017 KachelY + 1 118225 2.61165023 -1.41113932 149.636536 -80.852327
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41113170--1.41113932) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dl = 48.5470199992033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41113170--1.41113932) × R
    7.61999999987495e-06 × 6371000     		dr = 48.5470199992033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61160229-2.61165023) × cos(-1.41113170) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158987108082589 × 6371000     		do = 48.5587551365528m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61160229-2.61165023) × cos(-1.41113932) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.158979584999352 × 6371000     		du = 48.5564573932882m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41113170)-sin(-1.41113932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.158987108082589-0.158979584999352)×R²
    abs(2.61165023-2.61160229)×7.52308323648254e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.52308323648254e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.52308323648254e-06×40589641000000     		ar = 2357.32708243947m²