Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 120014 / 119452
↖ ↑ ↗
← S 81.372831°
E149.628296°		 ← 45.81 m → S 81.372831°
E149.631042°		 →
↑
45.81 m
↓
↑
45.81 m
↓
S 81.373243°
E149.628296°		 ← 45.80 m →
2 098 m²		 S 81.373243°
E149.631042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119452 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915637969970703 y=0.911350250244141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915637969970703 × 217)
    floor (0.915637969970703 × 131072)
    floor (120014.5)     		tx = 120014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911350250244141 × 217)
    floor (0.911350250244141 × 131072)
    floor (119452.5)     		ty = 119452
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120014 / 119452 ti = "17/120014/119452"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120014/119452.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120014 ÷ 217
    120014 ÷ 131072     		x = 0.915634155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119452 ÷ 217
    119452 ÷ 131072     		y = 0.911346435546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915634155273438 × 2 - 1) × π
    0.831268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61150642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.911346435546875 × 2 - 1) × π
    -0.82269287109375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58456587991495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61150642} λ = 2.61150642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58456587991495))-π/2
    2×atan(0.075428817659227)-π/2
    2×0.0752862530999283-π/2
    0.150572506199857-1.57079632675     		φ = -1.42022382
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61150642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42022382 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.372831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120014 KachelY 119452 2.61150642 -1.42022382 149.628296 -81.372831
    Oben rechts KachelX + 1 120015 KachelY 119452 2.61155435 -1.42022382 149.631042 -81.372831
    Unten links KachelX 120014 KachelY + 1 119453 2.61150642 -1.42023101 149.628296 -81.373243
    Unten rechts KachelX + 1 120015 KachelY + 1 119453 2.61155435 -1.42023101 149.631042 -81.373243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42022382--1.42023101) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dl = 45.8074900002916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42022382--1.42023101) × R
    7.19000000004577e-06 × 6371000     		dr = 45.8074900002916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61150642-2.61155435) × cos(-1.42022382) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.15000418611317 × 6371000     		do = 45.8055827800434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61150642-2.61155435) × cos(-1.42023101) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.149997077461543 × 6371000     		du = 45.8034120677521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42022382)-sin(-1.42023101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15000418611317-0.149997077461543)×R²
    abs(2.61155435-2.61150642)×7.10865162686924e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.10865162686924e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.10865162686924e-06×40589641000000     		ar = 2098.18905772161m²