Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 120014 / 119408
↖ ↑ ↗
← S 81.354684°
E149.628296°		 ← 45.90 m → S 81.354684°
E149.631042°		 →
↑
45.87 m
↓
↑
45.87 m
↓
S 81.355097°
E149.628296°		 ← 45.90 m →
2 105 m²		 S 81.355097°
E149.631042°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 120014 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 119408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.915637969970703 y=0.911014556884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.915637969970703 × 217)
    floor (0.915637969970703 × 131072)
    floor (120014.5)     		tx = 120014
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.911014556884766 × 217)
    floor (0.911014556884766 × 131072)
    floor (119408.5)     		ty = 119408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 120014 / 119408 ti = "17/120014/119408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/120014/119408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 120014 ÷ 217
    120014 ÷ 131072     		x = 0.915634155273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 119408 ÷ 217
    119408 ÷ 131072     		y = 0.9110107421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.915634155273438 × 2 - 1) × π
    0.831268310546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.61150642
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9110107421875 × 2 - 1) × π
    -0.822021484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.58245665633167
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.61150642} λ = 2.61150642}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.58245665633167))-π/2
    2×atan(0.0755880818030922)-π/2
    2×0.0754446143427262-π/2
    0.150889228685452-1.57079632675     		φ = -1.41990710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.61150642} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.628296°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41990710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.354684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 120014 KachelY 119408 2.61150642 -1.41990710 149.628296 -81.354684
    Oben rechts KachelX + 1 120015 KachelY 119408 2.61155435 -1.41990710 149.631042 -81.354684
    Unten links KachelX 120014 KachelY + 1 119409 2.61150642 -1.41991430 149.628296 -81.355097
    Unten rechts KachelX + 1 120015 KachelY + 1 119409 2.61155435 -1.41991430 149.631042 -81.355097
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41990710--1.41991430) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dl = 45.8711999999044m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41990710--1.41991430) × R
    7.199999999985e-06 × 6371000     		dr = 45.8711999999044m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.61150642-2.61155435) × cos(-1.41990710) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150317315012069 × 6371000     		do = 45.9012004562629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.61150642-2.61155435) × cos(-1.41991430) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150310196815994 × 6371000     		du = 45.8990268294594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41990710)-sin(-1.41991430))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150317315012069-0.150310196815994)×R²
    abs(2.61155435-2.61150642)×7.11819607515651e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.11819607515651e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.11819607515651e-06×40589641000000     		ar = 2105.49329298355m²